Question

已知函數(shù)，，其中.
(1)若是函數(shù)的極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的值；
(2)若對(duì)任意的(為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))都有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

Answer 1

(1)；(2)．

試題分析：（1）利用函數(shù)極值點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)等于0，且此點(diǎn)的左側(cè)和右側(cè)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)相反，求得實(shí)數(shù)的值；（2）問(wèn)題等價(jià)于對(duì)任意的時(shí)，都有，分類(lèi)討論，利用導(dǎo)數(shù)的符號(hào)判斷函數(shù)的單調(diào)性，由單調(diào)性求出函數(shù)的最小值及的最大值，根據(jù)它們之間的關(guān)系求出實(shí)數(shù)的取值范圍．
試題解析：(1)∵，其定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824043934720529.png" style="vertical-align:middle;" />，∴．
∵是函數(shù)的極值點(diǎn)，∴，即.
∵，∴．
經(jīng)檢驗(yàn)當(dāng)時(shí)，是函數(shù)的極值點(diǎn)，∴．
(2)對(duì)任意的都有成立等價(jià)于對(duì)任意的，都有．
當(dāng)時(shí)，．
∴函數(shù)在上是增函數(shù)，∴.
∵，且，．
①當(dāng)且時(shí)，，
∴函數(shù)在上是增函數(shù)，∴．
由，得a≥，
又，∴不合題意．
②當(dāng)時(shí)，
若，則，
若，則．
∴函數(shù)在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)．
∴.
由，得．又，∴．
③當(dāng)且時(shí)，，
函數(shù)在上是減函數(shù)．
∴.
由，得．又，∴.
綜上所述，的取值范圍為．