Question

如果數(shù)列{a_n}滿(mǎn)足a₁=2，a₂=1，且

an-an+1

an

=

an+1-an+2

an+2

（n≥1），則a₃為

2

3

，通項(xiàng)為

an=

2

n

．

Answer 1

分析：利用已知條件，直接求出a₃的值，通過(guò)已知條件列出遞推關(guān)系式，判斷{

1

an

}是等差數(shù)列，求出通項(xiàng)即可．

解答：解：因?yàn)閿?shù)列{a_n}滿(mǎn)足a₁=2，a₂=1，且

an-an+1

an

=

an+1-an+2

an+2

，
所以

a1-a2

a1

=

a2-a3

a3

，所以a₃=

2

3

，
因?yàn)?span id="mugy4pr" class="MathJye">

an-an+1

an

=

an+1-an+2

an+2

所以

an-an+1

anan+1

=

an+1-an+2

an+1an+2

，
所以

1

an+1

-

1

an

=

1

an+2

-

1

an+1

，即

2

an+1

=

1

an

+

1

an+2

，
所以{

1

an

}是等差數(shù)列，因?yàn)閍₁=2，a₂=1，
所以該數(shù)列首項(xiàng)為

1

2

，公差也是

1

2

，
所以

1

an

=

1

2

+(n-1)

1

2

，所以an=

2

n

．
故答案為：

2

3

；

2

n

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列遞推式，考查數(shù)列的通項(xiàng)，考查邏輯推理能力以及計(jì)算能力．