Question

下列命題中，正確命題的序號是

 

．
①函數(shù)y=sin⁴x-cos⁴x的最小正周期是π；
②終邊在y軸上的角的集合是{α|α=

kπ

2

，k∈Z}；
③在同一坐標(biāo)系中，函數(shù)y=sinx的圖象與函數(shù)y=x的圖象有3個(gè)公共點(diǎn)；
④把函數(shù)y=3sin（2x+

π

3

）的圖象向右平移

π

6

得到y(tǒng)=3sin2x的圖象．

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用,根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷,三角函數(shù)的周期性及其求法,函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：①展開平方差公式，利用平方關(guān)系結(jié)合二倍角余弦公式化簡，求出最小正周期后加以判斷；
②直接寫出終邊在y軸上的角的集合加以判斷；
③由x∈(0，

π

2

)時(shí)函數(shù)y=sinx與y=x的交點(diǎn)情況，結(jié)合函數(shù)y=sinx與y=x均為奇函數(shù)加以判斷；
④直接由函數(shù)圖象平移得到函數(shù)y=3sin（2x+

π

3

）的圖象向右平移

π

6

所得函數(shù)解析式，從而判斷命題真假．

解答： 解：對于①，∵y=sin⁴x-cos⁴x=（sin²x-cos²x）（sin²x+cos²x）=-cos2x．
∴函數(shù)y=sin⁴x-cos⁴x的最小正周期是π，命題①正確；
對于②，終邊在y軸上的角的集合是{α|α=kπ+

π

2

，k∈Z}，∴命題②錯(cuò)誤；
對于③，∵x∈(0，

π

2

)時(shí)，函數(shù)f（x）=x-sinx的導(dǎo)數(shù)f′（x）=1-cosx＞0，
∴f（x）＞f（0）=0，
∴x＞sinx，則只有x=0時(shí)sin0=0，
又函數(shù)y=sinx與y=x均為奇函數(shù)，
∴在同一坐標(biāo)系中，函數(shù)y=sinx的圖象與函數(shù)y=x的圖象只有1個(gè)公共點(diǎn)，命題③錯(cuò)誤；
對于④，把函數(shù)y=3sin（2x+

π

3

）的圖象向右平移

π

6

，
得到y=3sin[2(x-

π

6

)+

π

3

]=3sin2x．
∴命題④正確．
∴正確的命題是①④．
故答案為：①④．

點(diǎn)評：本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，考查了與三角函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的圖象與性質(zhì)，利用函數(shù)單調(diào)性判斷函數(shù)
y=sinx的圖象與函數(shù)y=x的圖象交點(diǎn)是解答該題的關(guān)鍵，是中檔題．