Question

18．在四棱錐E-ABCD中，底面ABCD是邊長為1的正方形，AC與BD交于點O，EC⊥底面ABCD，F(xiàn)為BE的中點．
（Ⅰ）求證：DE∥平面ACF；
（Ⅱ）求證：BD⊥AE．

Answer 1

分析 （Ⅰ）連接FO，則OF為△BDE的中位線，從而DE∥OF，由此能證明DE∥平面ACF．
（Ⅱ）推導(dǎo)出BD⊥AC，EC⊥BD，從而BD⊥平面ACE，由此能證明BD⊥AE．

解答 證明：（Ⅰ）連接FO，∵底面ABCD是正方形，且O為對角線AC和BD交點
∴O為BD的中點，
又∵F為BE中點，
∴OF為△BDE的中位線，即DE∥OF，
又OF?平面ACF，DE?平面ACF，
∴DE∥平面ACF．
（Ⅱ）∵底面ABCD為正方形，∴BD⊥AC，
∵EC⊥平面ABCD，∴EC⊥BD，
∴BD⊥平面ACE，∴BD⊥AE．

點評 本題考查線面平行的證明，考查線線垂直的證明，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．