Question

直線稱為橢圓的“特征直線”，若橢圓的離心率．
（Ⅰ）求橢圓的“特征直線”方程；
（Ⅱ）過橢圓C上一點(diǎn)M（x₀，y₀）（x₀≠0）作圓x²+y²=b²的切線，切點(diǎn)為P、Q，直線PQ與橢圓的“特征直線”相交于點(diǎn)E、F，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若取值范圍恰為，求橢圓C的方程．

Answer 1

解：（Ⅰ）設(shè)c²=a²-b²（c＞0），則由，得 ，
∴，橢圓的“特征直線”方程為：x±2y=0．
（Ⅱ）根據(jù)P、Q是以MO為直徑的圓和圓x²+y²=b²的交點(diǎn)，把兩圓的方程相減可得
直線PQ的方程，并化為一般式為 x₀x+y₀y=b²，設(shè)E（x₁，y₁），F(xiàn)（x₂，y₂），
聯(lián)立，解得 ． 同理可求 ，，∵M(jìn)（x₀，y₀）是橢圓上的點(diǎn)，
∴，從而 ，
∵0＜x₀²≤4b² ，∴，∴，或 ，
由條件得 b²=1，故橢圓C的方程為．
分析：（Ⅰ） 由離心率的值求得，即得特征直線的方程．
（Ⅱ） 用點(diǎn)斜式求出直線PQ的方程，與圓的方程聯(lián)立求得E的縱坐標(biāo)y₁ ，同理求得F的縱坐標(biāo)y₂，再根據(jù)點(diǎn)M滿足的條件及兩個(gè)向量的數(shù)量積公式求得，由0＜x₀²≤4b² 進(jìn)一步化簡得，，或 ，結(jié)合條件有 b²=1，從而得到 橢圓C的方程．
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的簡單性質(zhì)，兩個(gè)向量的數(shù)量積公式，以及不等式的性質(zhì)的應(yīng)用．