Question

在數列{a_n}中，a₁+a₂+a₃+…+a_n=n-a_n（n∈N^*）．
（1）求a₁，a₂，a₃的值；
（2）求證：數列{a_n-1}是等比數列；
（3）設b_n=a_n-1，且c_n=b_n（n-n²）（n∈N^*），如果對任意n∈N^*，都有c_n+

1

4

t≤t²，求實數t的取值范圍．

Answer 1

考點：等比數列的性質,等比關系的確定

專題：計算題,等差數列與等比數列

分析：（1）利用數列{a_n}中，a₁+a₂+a₃+…+a_n=n-a_n，代入計算，可求a₁，a₂，a₃的值；
（2）由a₁+a₂+a₃+…+a_n=n-a_n，得a₁+a₂+a₃+…+a_n+a_n+1=n+1-a_n+1，二者作差得2a_n+1-a_n=1，由此能證明數列{a_n-1}是等比數列．
（3）由（2）知a_n=1-2^-n，從而得到c_n=b_n（n-n²）=（n²-n）•2^-n，由當n≥3時，c_n+1-c_n=

1

2n+1

•(3n-n2)
，得到對任意n∈N^*，都有c_n+

1

4

t≤t²，則t²-

1

4

t≥max{c_n}=

3

4

，由此能求出t的取值范圍．

解答： 解：（1）由題意可知：當n=1時，a₁=1-a₁，解得：a₁=

1

2

，
同理可得：當n=2時，a₁+a₂=2-a₂，解得：a₂=

3

4

，
當n=3時，a₁+a₂+a₃=3-a₃，解得：a₃=

7

8

；
（2）由題意可得：a₁+a₂+a₃+…+a_n=n-a_n，①
∴a₁+a₂+a₃+…+a_n+a_n+1=n+1-a_n+1，②
②-①，得2a_n+1-a_n=1，
∴a_n+1-1=

1

2

（a_n-1）
又a₁=

1

2

，∴a₁-1=-

1

2

，
∴數列{a_n-1}是以-

1

2

為首項，以

1

2

為公比的等比數列．
（3）由（2）可知數列{a_n-1}是以-

1

2

為首項，以

1

2

為公比的等比數列，則a_n-1=-

1

2

•(

1

2

)n-1
解得：a_n=1-2^-n，故c_n=b_n（n-n²）=（n²-n）•2^-n
顯然c₁=0，當n≥2時，c_n＞0，
則當n≥3時，c_n+1-c_n=

1

2n+1

•(3n-n2)
由此可得：c₃-c₂＞0，即c₂＜c₃=c₄
當n≤4時，數列{c_n}為單遞減數列，則c₃=c₄=max{c_n}
因此對任意n∈N^*，都有c_n+

1

4

t≤t²，則t²-

1

4

t≥max{c_n}=

3

4

解得：t≥1或t≤-

3

4

．

點評：本題考查等比數列的證明，考查實數的取值范圍的求法，解題時要認真審題，注意構造法和等價轉化思想的合理運用．