Question

5．已知曲線C：mx²+ny²=1經(jīng)過點A（5，0），B（4，$\frac{12}{5}$）．
（1）求曲線C的方程．
（2）若曲線C上一點P到點M（-3，0）的距離等于6，求點P到點N（3，0）的距離|PN|．

Answer 1

分析 （1）將A，B的坐標代入橢圓方程，解得m，n，即可得到所求橢圓方程；
（2）求得橢圓的a，b，c，可得M，N為橢圓的焦點，運用橢圓的定義，即可得到所求距離．

解答 解：（1）將A（5，0），B（4，$\frac{12}{5}$）代入橢圓方程，
可得$\left\{\begin{array}{l}25m=1\\ 16m+\frac{144}{25}n=1\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}m=\frac{1}{25}\\ n=\frac{1}{16}\end{array}\right.$，
即有曲線C的方程為：$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$；
（2）由（1）知，曲線C是焦點在x軸上的橢圓，
且a=5，b=4，∴$c=\sqrt{{a^2}-{b^2}}=3$，
∴M（-3，0），N（3，0）分別是橢圓的左右焦點，
由橢圓定義得：|PM|+|PN|=2a=10，
∴|PN|=10-|PM|=10-6=4．

點評 本題考查橢圓方程的求法，注意運用待定系數(shù)法，考查橢圓上的點到焦點的距離，注意運用橢圓的定義，考查運算能力，屬于基礎(chǔ)題．