Question

設(shè)f（x）=

1

3

x³+

1

2

（b-1）x²-bx，x∈R，當(dāng)f（x）在R上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)時(shí)，求b的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：求出導(dǎo)數(shù)，對(duì)b討論，由于函數(shù)f（x）在R上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，則函數(shù)的極大值小于0，或者是函數(shù)的極小值大于0，解出參數(shù)范圍即可．

解答： 解：f′（x）=x²+（b-1）x-b=（x+b）（x-1），
則-b，1為方程f′（x）=0的兩根，
若b=-1，則f′（x）≥0，f（x）遞增，成立；
若b＞-1，則f（x）在（-∞，-b），（1，+∞）遞增，在（-b，1）遞減，
則f（1）為函數(shù)f （x）極小值，且為-

b

2

-

1

6

，f（-b）為極大值，且為

b2

2

+

1

6

b³．
由于函數(shù)f （x） 在R上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，
則-

b

2

-

1

6

＞0或

b2

2

+

1

6

b³＜0，解得，-1＜b＜-

1

3

；
若b＜-1時(shí)，則f（x）在（-∞，-b），（1，+∞）遞減，在（-b，1）遞增．
則f（1）為函數(shù)f （x）極大值，且為-

b

2

-

1

6

，f（-b）為極小值，且為

b2

2

+

1

6

b³．
由于函數(shù)f （x） 在R上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，
則-

b

2

-

1

6

＜0或

b2

2

+

1

6

b³＞0，解得，-3＜b＜-1．
則b的取值范圍為：-3＜b＜-

1

3

．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查多項(xiàng)式函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，函數(shù)單調(diào)性的判定，函數(shù)最值，函數(shù)、方程等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力、推理論證能力及分析與解決問題的能力，難度不大．