Question

（2013•寧德模擬）已知函數(shù)f（x）=x³+bx+c在點(diǎn)（1，f（1））處的切線(xiàn)方程為2x-y-2=0．
（Ⅰ）求實(shí)數(shù)b，c的值；
（Ⅱ）求函數(shù)g（x）=[f（x）-x³]e^x在區(qū)間[t，t+1]的最大值；
（Ⅲ）設(shè)h（x）=f（x）+6lnx，問(wèn)是否存在實(shí)數(shù)m，使得函數(shù)h（x）的圖象上任意不同的兩點(diǎn)A（x₁，h（x₁）），B（x₂，h（x₂））連線(xiàn)的斜率都大于m？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，說(shuō)明理由．（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，e≈2.71828…）

Answer 1

分析：（I）根據(jù)切點(diǎn)既在切線(xiàn)上又在函數(shù)f（x）的圖象上，建立一個(gè)等式關(guān)系，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出函數(shù)f（x）在x=1處的導(dǎo)數(shù)，建立另一個(gè)關(guān)系式，解方程組即可求出b和c的值；
（II）先求導(dǎo)數(shù)gˊ（x），在函數(shù)的定義域內(nèi)解不等式gˊ（x）＞0和gˊ（x）＜0，結(jié)合對(duì)字母t分類(lèi)討論，即可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而得出其最大值；
（III）對(duì)于存在性問(wèn)題，可先假設(shè)存在，即假設(shè)存在實(shí)數(shù)m，使得函數(shù)h（x）的圖象上任意不同的兩點(diǎn)A（x₁，h（x₁）），B（x₂，h（x₂））連線(xiàn)的斜率都大于m．則問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為h（x₂）-mx₂＞h（x₁）-mx₁，即m≤3x²-1+

6

x

在（0，+∞）上恒成立，則問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為求函數(shù)3x²-1+

6

x

在（0，+∞）上的最小值，若出現(xiàn)矛盾，則說(shuō)明假設(shè)不成立，即不存在；否則存在．

解答：解：（Ⅰ）∵點(diǎn)P在切線(xiàn)上，
∴f（1）=0．
∴1+b+c=0．①（2分）
又函數(shù)圖象在點(diǎn)P處的切線(xiàn)斜率為2，
∴f'（1）=2，
又f'（x）=3x²+b，
∴3+b=2．②（4分）
解由①②組成的方程組，可得b=-1，c=0．（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f（x）=x³-x，∴g（x）=-xe^x，g′（x）=-（x+1）e^x，
令g'（x）＞0，可得x＜-1；
令g'（x）＜0，可得x＞-1．（7分）
①當(dāng)t+1＜-1即t＜-2時(shí)，函數(shù)g（x）在區(qū)間[t，t+1]上單調(diào)增，得g（x）_max=g（t+1）=-（t+1）e^t+1；
②當(dāng)t≤-1≤t+1＜即-2≤t≤-1時(shí)，函數(shù)g（x）在區(qū)間[t，-1]上單調(diào)增，在區(qū)間[-1，t+1]上單調(diào)減，得g（x）_max=g（-1）=

1

e

；
③當(dāng)t＞-1時(shí)，函數(shù)g（x）在區(qū)間[t，t+1]上單調(diào)減，得g（x）_max=g（t）=-te^t；
綜上，g（x）_max=

-(t+1)et+1，t＜-2 1 e ，-2≤t≤-1 -tet，t＞-1

．
（Ⅲ）假設(shè)存在實(shí)數(shù)m，使得函數(shù)h（x）的圖象上任意不同的兩點(diǎn)A（x₁，h（x₁）），B（x₂，h（x₂））連線(xiàn)的斜率都大于m，即

h(x2)-h(x1)

x2-x1

＞m，不妨設(shè)x₂＞x₁＞0，
則問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為h（x₂）-mx₂＞h（x₁）-mx₁，
∴y=h（x）-mx在（0，+∞）上是增函數(shù)，∴y′=3x²-1+

6

x

-m≥0，即m≤3x²-1+

6

x

在（0，+∞）上恒成立，
設(shè)H（x）=3x²-1+

6

x

，由H′（x）=6x-

6

x2

＞0，得x＞1，H′（x）＜0，得0＜x＜1．
可知Hf（x）在（0，1）上是減函數(shù)，在（ 1，+∞）上是增函數(shù)．
∴H（x）的最小值為H（1）=8≥m．（11分）
∴存在m，且m的取值范圍是（-∞，8]．（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題是一綜合題，考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線(xiàn)上某點(diǎn)切線(xiàn)方程，會(huì)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間以及根據(jù)函數(shù)的增減性得到函數(shù)的最值，以及直線(xiàn)的斜率的應(yīng)用．