Question

【題目】已知函數
（1）求函數 的定義域；
（2）若存在a∈R，對任意 ，總存在唯一x0∈[﹣1，2]，使得f（x1）=g（x0）成立．求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：由 ，解得 ，k∈Z，解得2kπ﹣ ＜x＜2kπ+ ，k∈Z，

所以函數的定義域為：

（2）解：首先， ，

∵ ，∴﹣3≤log2x≤1，∴函數f（x）的值域為[0，4]，

其次，由題意知：[0，4]{y|y=x2﹣ax+1（﹣1≤x≤2）}，且對任意y∈[0，4]，總存在唯一x0∈[﹣1，2]，使得y=g（x0）．以下分三種情況討論：

①當 時，則 ，解得a≤﹣2；

②當 時，則 ，解得a≥4；

③當 時，則 或 ，解得 ；

綜上：

【解析】（1）要使原函數有意義，須使 ，解出即可；（2）先求出函數f（x）在[ ，2]上的值域，由題意該值域為函數g（x）在[﹣1，2]上值域的子集，按g（x）圖象的對稱軸在[﹣1，2]的左側、右側、內部三種情況進行討論，結合圖象可得端點處函數值g（﹣1）、g（2）的限制條件，得不等式組，分別解出，最后求并集即可；
【考點精析】根據題目的已知條件，利用函數的定義域及其求法和復合函數單調性的判斷方法的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握求函數的定義域時，一般遵循以下原則：①是整式時，定義域是全體實數;②是分式函數時，定義域是使分母不為零的一切實數;③是偶次根式時，定義域是使被開方式為非負值時的實數的集合;④對數函數的真數大于零，當對數或指數函數的底數中含變量時，底數須大于零且不等于1,零（負）指數冪的底數不能為零；復合函數f[g(x)]的單調性與構成它的函數u=g(x)，y=f(u)的單調性密切相關，其規(guī)律：“同增異減”．