Question

18．已知點(diǎn)A是拋物線M：y²=2px（p＞0）與圓C：x²+（y-4）²=a²在第一象限的公共點(diǎn)，且點(diǎn)A到拋物線M焦點(diǎn)F的距離為a，若拋物線M上一動(dòng)點(diǎn)到其準(zhǔn)線與到點(diǎn)C的距離之和的最小值為2a，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則直線OA被圓C所截得的弦長為（　�。�

• A． 2
• B． 2$\sqrt{3}$
• C． $\frac{7\sqrt{2}}{3}$
• D． $\frac{7\sqrt{2}}{6}$

Answer 1

分析 求得圓的圓心和半徑，運(yùn)用拋物線的定義可得A，C，F(xiàn)三點(diǎn)共線時(shí)取得最小值，且有A為CF的中點(diǎn)，設(shè)出A，C，F(xiàn)的坐標(biāo)，代入拋物線的方程可得p，由拋物線的定義可得a，求得C到直線OA的距離，運(yùn)用圓的弦長公式計(jì)算即可得到所求值．

解答 解：圓C：x²+（y-4）²=a²的圓心C（0，4），半徑為a，
|AC|+|AF|=2a，
由拋物線M上一動(dòng)點(diǎn)到其準(zhǔn)線與到點(diǎn)C的距離之和的最小值為2a，
由拋物線的定義可得動(dòng)點(diǎn)到焦點(diǎn)與到點(diǎn)C的距離之和的最小值為2a，
可得A，C，F(xiàn)三點(diǎn)共線時(shí)取得最小值，且有A為CF的中點(diǎn)，
由C（0，4），F(xiàn)（$\frac{p}{2}$，0），可得A（$\frac{p}{4}$，2），
代入拋物線的方程可得，4=2p•$\frac{p}{4}$，解得p=2$\sqrt{2}$，
即有a=$\frac{p}{4}$+$\frac{p}{2}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，A（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，2），
可得C到直線OA：y=2$\sqrt{2}$x的距離為d=$\frac{|0-4|}{\sqrt{8+1}}$=$\frac{4}{3}$，
可得直線OA被圓C所截得的弦長為2$\sqrt{（\frac{3\sqrt{2}}{2}）^{2}-（\frac{4}{3}）^{2}}$=$\frac{7\sqrt{2}}{3}$．
故選：C．

點(diǎn)評 本題考查圓的弦長的求法，注意運(yùn)用拋物線的定義和三點(diǎn)共線和最小，同時(shí)考查弦長公式和點(diǎn)到直線的距離公式的運(yùn)用，屬于中檔題．