Question

在銳角△ABC中，A、B、C三內(nèi)角所對(duì)的邊分別為a、b、c，cos2A=-

1

2

，a=

7

，b=3．
（1）求c；
（2）求△ABC的面積．

Answer 1

分析：由三角形為銳角三角形，得到A的范圍，進(jìn)而確定出2A的范圍，由cos2A的值，利用特殊角的三角函數(shù)值求出A的度數(shù)，
（1）由A的度數(shù)求出cosA的值，再由a與b的值，利用余弦定理列出關(guān)于c的方程，求出方程的解得到c的值，然后利用余弦定理表示出cosB，將三邊長(zhǎng)代入求出cosB的值，根據(jù)B為銳角，經(jīng)過(guò)判斷可得到滿(mǎn)足題意的c的值；
（2）由A的度數(shù)求出sinA的值，再由b與c的值，利用三角形的面積公式S=

1

2

bcsinA即可求出三角形ABC的面積．

解答：解：∵△ABC為銳角三角形，∴0＜A＜

π

2

，
∴0＜2A＜π，又cos2A=-

1

2

，
∴2A=

2π

3

，即A=

π

3

，
（1）∵a=

7

，b=3，cosA=

1

2

，
∴由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA得：c²-3c+2=0，
解得：c=1或c=2，
若c=1，則有cosB=

a2+c2-b2

2ac

=-

1

2 7

＜0，與B為銳角矛盾，
∴c=1舍去，即c=2；
（2）∵A=

π

3

，b=3，c=2，
∴△ABC的面積S=

1

2

bcsinA=

1

2

×3×2×

3

2

=

3 3

2

．

點(diǎn)評(píng)：此題屬于解三角形的題型，涉及的知識(shí)有：余弦定理，三角形的面積公式，余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．