Question

1．已知函數(shù)f（x）=1+$\frac{a}{{2}^{x}+1}$（a∈R）．
（1）已知f（x）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，求實(shí)數(shù)a的值；
（2）若a=1，已知常數(shù)t滿(mǎn)足：t•（2^x+1）f（x）＜（2^x+2）²+1對(duì)x∈R恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）已知f（x）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義建立方程關(guān)系即可求實(shí)數(shù)a的值；
（2）若a=1，將不等式進(jìn)行化簡(jiǎn)，利用參數(shù)分離法轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值即可．

解答 解：（1）定義域?yàn)镽，若f（x）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，
則知函數(shù)為R上的奇函數(shù)，則f（0）=0，即1+$\frac{a}{1+1}$=1+$\frac{a}{2}$=0，得a=-2
（2）若a=1，則f（x）=1+$\frac{1}{{2}^{x}+1}$=$\frac{{2}^{x}+2}{{2}^{x}+1}$，
∵t•（2^x+1）f（x）＜（2^x+2）²+1對(duì)x∈R恒成立，
∴t•（2^x+1）•$\frac{{2}^{x}+2}{{2}^{x}+1}$＜（2^x+2）²+1對(duì)x∈R恒成立，
即t•（2^x+2）＜（2^x+2）²+1對(duì)x∈R恒成立，
∵2^x+2＞2，
∴不等式等價(jià)為t＜$\frac{（{2}^{x}+2）^{2}+1}{{2}^{x}+2}$=2^x+2+$\frac{1}{{2}^{x}+2}$恒成立，
易知，關(guān)于x的函數(shù)y=2^x+2+$\frac{1}{{2}^{x}+2}$在上R為增函數(shù)，
令m=2^x+2，m＞2，
則m+$\frac{1}{m}$在（2，+∞）上為增，
∴m+$\frac{1}{m}$＞2$+\frac{1}{2}$=$\frac{5}{2}$
∴t≤$\frac{5}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)奇偶性的應(yīng)用，以及不等式恒成立，利用函數(shù)奇偶性的定義建立方程關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．