Question

設(shè)拋物線(xiàn)y²=4x的焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)M（-1，0）的直線(xiàn)在第一象限交拋物線(xiàn)于A、B，使

AF

•

BF

=0，則直線(xiàn)AB的斜率k=（　�。�

• A、

  2

• B、

  2

  2

• C、

  3

• D、

  3

  3

Answer 1

分析：由題意可得直線(xiàn)AB的方程 y-0=k （x+1），k＞0，代入拋物線(xiàn)y²=4x化簡(jiǎn)求得x₁+x₂ 和x₁•x₂，進(jìn)而得到y(tǒng)₁+y₂和y₁•y₂，由

AF

•

BF

=0，解方程求得k的值．

解答：解：拋物線(xiàn)y²=4x的焦點(diǎn)F（1，0），直線(xiàn)AB的方程 y-0=k （x+1），k＞0．
代入拋物線(xiàn)y²=4x化簡(jiǎn)可得 k²x²+（2k²-4）x+k²=0，
∴x₁+x₂=

-(2k2- 4)

k2

，x₁•x₂=1．
∴y₁+y₂=k（x₁+1）+k（x₂+1）=

-(2k2- 4)

k2

×k+2k=

k

4

，
y₁•y₂=k²（x₁+x₂+x₁•x₂+1）=4．
又

AF

•

BF

=0=（x₁-1，y₁）•（x₂-1，y₂）=x₁•x₂-（x₁+x₂）+1+y₁•y₂=8-

4

k2

，
∴k=

2

2

，
故選B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線(xiàn)和圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系，兩個(gè)向量的數(shù)量積公式的應(yīng)用，得到 8-

4

k2

=0，是解題的難點(diǎn)和關(guān)鍵．