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3.在銳角△ABC中,∠A=\frac{π}{3},∠BAC的平分線交邊BC于點(diǎn)D,|AD|=1,則△ABC面積的取值范圍是(  )
A.[\frac{\sqrt{10}}{6},\frac{\sqrt{7}}{4}]B.[\frac{\sqrt{3}}{3}\frac{\sqrt{7}}{4}]C.[\frac{\sqrt{10}}{6},\frac{3\sqrt{3}}{8}D.[\frac{\sqrt{3}}{3},\frac{3\sqrt{3}}{8}

分析 根據(jù)余弦定理和角平分線定理,求出△ABC是正三角形時面積取得最小值\frac{\sqrt{3}}{3},當(dāng)AB⊥BC時,△ABC面積取得最大值\frac{3\sqrt{3}}{8},由此求出結(jié)果.

解答 解:如圖所示,
銳角△ABC中,∠A=\frac{π}{3},∠BAC的平分線交邊BC于點(diǎn)D,|AD|=1,
根據(jù)余弦定理,BD2=c2+1-2c•cos\frac{π}{6}=c2-\sqrt{3}c+1,
CD2=b2+1-2b•cos\frac{π}{6}=b2-\sqrt{3}b+1;
根據(jù)角平分線定理,\frac{DB}{CD}=\frac{AB}{AC},
\frac{{c}^{2}-\sqrt{3}c+1}{^{2}-\sqrt{3}b+1}=\frac{{c}^{2}}{^{2}};
∴b2c2-\sqrt{3}b2c+b2=b2c2-\sqrt{3}bc2+c2,
\sqrt{3}bc(c-b)=(c-b)(c+b);
當(dāng)b=c時,△ABC是正三角形,由|AD|=1,
得AB=AC=\frac{2}{\sqrt{3}},則S△ABC=\frac{1}{2}bcsin\frac{π}{3}=\frac{\sqrt{3}}{3};
當(dāng)b≠c時,\sqrt{3}bc=b+c≥2\sqrt{bc},當(dāng)且僅當(dāng)b=c時“=”成立,
所以bc≥\frac{4}{3},即b=c=\frac{2}{\sqrt{3}}時S△ABC取得最小值為\frac{\sqrt{3}}{3}
又當(dāng)AB⊥BC時,
BD=\frac{1}{2},AB=\frac{\sqrt{3}}{2},DC=AD=1,
S△ABC=\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}×(1+\frac{1}{2})=\frac{3\sqrt{3}}{8}為最大值,
△ABC面積的取值范圍是[\frac{\sqrt{3}}{3},\frac{3\sqrt{3}}{8}].
故選:D.

點(diǎn)評 本題考查了解三角形的應(yīng)用問題,也考查了三角形面積的計算問題,是較難的題目.

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吸煙202040
不吸煙55560
合計2575100
根據(jù)列聯(lián)表數(shù)據(jù),有99.9%的把握(填寫相應(yīng)的百分比)認(rèn)為患慢性氣管炎與吸煙有關(guān).
附:
P(K2≥k)  0.0500.0100.001
k   3.8416.63510.828
{K^2}=\frac{{n{{(ad-bc)}^2}}}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}

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