Question

已知數列{a_n}中，a₁=3，a₂=5，其前n項和S_n滿足（n≥3）．令b_n=，且已知f（x）=2^x-1．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）求證：T_n=b₁f（1）+b₂f（2）+…+b_nf（n）＜；
（3）求證：．

Answer 1

解：（1）由題意知S_n-S_n-1=S_n-1-S_n-2+2^n-1（n≥3），
a_n=a_n-1+2^n-1（n≥3）…（1分）
∴a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₃-a₂）+a₂
=2^n-1+2^n-2+…+2²+5
=2^n-1+2^n-2+…+2²+2+1+2
（n≥3）…3分
檢驗知n=1、2時，結論也成立，故a_n=2ⁿ+1．…（4分）
證明：（2）b_nf（n）=•2^n-1=•=（-）…（6分）
T_n=b₁f（1）+b₂f（2）+…+b_nf（n）
=[（-）+（-）+…+（-）]
=（-）
＜•=．…（7分）
（3）法一：令S=+++…+=++…+，
∵S=++…+≥n…（8分）
++…+≥n…（10分）
兩式相乘有（++…+）•（++…+）≥n²，
即（++…+）•（n+1-）≥n²，…（11分）
∴S=++…+≥＞…（12分）
法二：數學歸納法：
①n=1時S=＞成立，
n=2時，S=+＞成立；…（8分）
（只寫n=1時S=＞成立，本問不得分）
②假設n=k，k≥2時，S=++…+＞成立，
則n=k+1，S=++…++＞+，
要證S=++…++＞，
只需證+＞，
即證＞-，
即證＞…（9分）
即證＞，
即證1-＞1-，
即證2^k+1+1＞（k+1）（k+2）…（10分）
k≥5時，2^k+1+1＞2+2+2+1=k²+3k+3＞（k+1）（k+2）…（11分）
再驗證k=2、3、4時2^k+1+1＞（k+1）（k+2）成立．后略…（12分）
分析：（1）根據題意可求得a_n=a_n-1+2^n-1（n≥3），利用累加法即可求得數列{a_n}的通項公式；
（2）利用列項法將b_nf（n）=•2^n-1轉化為b_nf（n）=（-），求和時再利用放縮法即可證得T_n=b₁f（1）+b₂f（2）+…+b_nf（n）＜；
（3）法一：構造函數，令S=+++…+=++…+，利用基本不等式可證明（++…+）•（++…+）≥n²，再對++…+通過分離常數得到n+1-，放縮后即可得證結論；
法二：數學歸納法：①n=1時S=＞成立，
②假設n=k，k≥2時，S=++…+＞成立，
則n=k+1，用分析法即可證得結論成立．
點評：本題考查數列與不等式的綜合，著重考查裂項法求和與放縮法證明不等式，考查化歸思想，分類討論思想的綜合應用，屬于難題．