Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，∠ADC=45°，AD=AC=1，O為AC的中點，PO⊥平面ABCD，PO=2，M為PD的中點．
（1）證明：PB∥平面ACM；
（2）證明：AD⊥平面PAC．

Answer 1

分析：（1）連接BD、OM，由M，O分別為PD和AC中點，得OM∥PB，從而證明PB∥平面ACM；
（2）由PO⊥平面ABCD，得PO⊥AD，由∠ADC=45°，AD=AC，得AD⊥AC，從而證明AD⊥平面PAC．

解答：證明：（1）連接BD和OM
∵底面ABCD為平行四邊形且O為AC的中點    
∴BD經過O點
在△PBD中，O為BD的中點，M為PD的中點
所以OM為△PBD的中位線
故OM∥PB
∵OM∥PB，OM?平面ACM，PB?平面ACM
∴由直線和平面平行的判定定理知 PB∥平面ACM．
（2）∵PO⊥平面ABCD，且AD?平面ABCD
∴PO⊥AD
∵∠ADC=45°且AD=AC=1  
∴∠ACD=45°  
∴∠DAC=90°
∴AD⊥AC
∵AC?平面PAC，PO?平面PAC，且AC∩PO=O
∴由直線和平面垂直的判定定理知 AD⊥平面PAC．

點評：本題主要考查了直線和平面平行及垂直的判定定理．