【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,直線與直線之間的陰影部分記為,區(qū)域中動點到的距離之積為1.
(1)求點的軌跡的方程;
(2)對于區(qū)域中動點,求的取值范圍;
(3)動直線穿過區(qū)域,分別交直線于兩點,若直線與點的軌跡有且只有一個公共點,求證:的面積值為定值.
【答案】(1);(2);(3)證明見解析
【解析】
(1)根據(jù)點到直線的距離關(guān)系建立方程即可求出點的軌跡方程;
(2)將 變形為,利用其幾何意義求范圍即可;
(3)根據(jù)直線和雙曲線的位置關(guān)系,結(jié)合三角形的面積公式進(jìn)行求解即可.
解:(1)由題意得,即 .
因為點在區(qū)域內(nèi),所以與同號,得,
即點的軌跡的方程為;
(2),
的幾何意義為:區(qū)域中動點到點的距離的平方再減去5.
觀察圖形得,區(qū)域中動點到點的距離的最小值就是點到直線的距離,無最大值,
即的最小值為,
的取值范圍為;
(3)設(shè)直線與軸相交于點,
當(dāng)直線的斜率不存在時,
,,得.
當(dāng)直線的斜率存在時,
設(shè)其方程為,顯然,則,
把直線的方程與:聯(lián)立
得,
由直線與軌跡C有且只有一個公共點,
知,
,
或.
設(shè),
由得,
同理,得.
.
綜上,的面積恒為定值2.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,梯形ABCD所在的平面與等腰梯形ABEF所在的平面互相垂直,AB∥CD∥EF,AB⊥AD,CD=DA=AF=FE=2,AB=4.
(1)求證:DF∥平面BCE;
(2)求二面角C—BF—A的正弦值;
(3)線段CE上是否存在點G,使得AG⊥平面BCF?請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】總體由編號為01,02,…,49,50的50個個體組成,利用下面的隨機(jī)數(shù)表選取6個個體,選取方法是從隨機(jī)數(shù)表第7行的第9列和第10列數(shù)字開始從左到右依次選取兩個數(shù)字,則選出的第4個個體的編號為( )
附:第6行至第8行的隨機(jī)數(shù)表
2748 6198 7164 4148 7086 2888 8519 1620 7477
0111 1630 2404 2979 7991 9624 5125 3211 4919
7306 4916 7677 8733 9974 6732 2635 7900 3370
A.11B.24C.25D.20
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,AOB是一塊半徑為r的扇形空地,.某單位計劃在空地上修建一個矩形的活動場地OCDE及一矩形停車場EFGH,剩余的地方進(jìn)行綠化.若,設(shè)
(Ⅰ)記活動場地與停車場占地總面積為,求的表達(dá)式;
(Ⅱ)當(dāng)為何值時,可使活動場地與停車場占地總面積最大.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)y=f(x)在(-∞,1]上有定義,對于給定的實數(shù)K,定義fK(x)=,給出函數(shù)f(x)=2x+1-4x,若對于任意x∈(-∞,1],恒有fK(x)=f(x),則( )
A.K的最大值為0
B.K的最小值為0
C.K的最大值為1
D.K的最小值為1
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),x∈[-1,1],函數(shù),a∈R的最小值為h(a).
(1)求h(a)的解析式;
(2)是否存在實數(shù)m,n同時滿足下列兩個條件:①m>n>3;②當(dāng)h(a)的定義域為[n,m]時,值域為[n2,m2]?若存在,求出m,n的值;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)數(shù)列的前項的和為且數(shù)列滿足且對任意正整數(shù)都有成等比數(shù)列.
(1)求數(shù)列的通項公式.
(2)證明數(shù)列為等差數(shù)列.
(3)令問是否存在正整數(shù)使得成等比數(shù)列?若存在,求出的值,若不存在,說明理由.
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