Question

已知函數(shù)

（1）計算的值，據(jù)此提出一個猜想，并予以證明；

（2）證明：除點（2,2）外，函數(shù)的圖像均在直線的下方.

 

Answer 1

【答案】

（1），，猜想詳見解析；（2）證明過程詳見解析.

【解析】

試題分析：本題考查求函數(shù)值和函數(shù)最值、函數(shù)的對稱性等基礎(chǔ)知識，考查學生的轉(zhuǎn)化能力、分析問題解決問題的能力和計算能力.第一問，直接代入求函數(shù)值，通過2組數(shù)的規(guī)律得到猜想，利用對稱關(guān)系證明結(jié)論；第二問，先求出函數(shù)的定義域，利用單調(diào)性的定義判斷函數(shù)的單調(diào)性，求最值，將原結(jié)論轉(zhuǎn)化為求最值問題.

試題解析： （1）∵

∴；

猜想：的圖象關(guān)于對稱，下面證明猜想的正確性；

∵

∴的圖象關(guān)于對稱

（2）∵的定義域為，由（1）知的圖象關(guān)于對稱

設(shè) 

∴

∵   ∴    

又

∴   

∴為上的增函數(shù)，由對稱性知在上為減函數(shù)，

∴

∴的圖象除點外均在直線的下方.

考點：1.證明函數(shù)的對稱性；2.函數(shù)單調(diào)性的定義.