Question

已知函數(shù)

（1）計(jì)算的值，據(jù)此提出一個(gè)猜想，并予以證明；

（2）證明：除點(diǎn)（2,2）外，函數(shù)的圖像均在直線的下方.

 

Answer 1

【答案】

（1），，猜想詳見解析；（2）證明過(guò)程詳見解析.

【解析】

試題分析：本題考查求函數(shù)值和函數(shù)最值、函數(shù)的對(duì)稱性等基礎(chǔ)知識(shí)，考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力、分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力和計(jì)算能力.第一問(wèn)，直接代入求函數(shù)值，通過(guò)2組數(shù)的規(guī)律得到猜想，利用對(duì)稱關(guān)系證明結(jié)論；第二問(wèn)，先求出函數(shù)的定義域，利用單調(diào)性的定義判斷函數(shù)的單調(diào)性，求最值，將原結(jié)論轉(zhuǎn)化為求最值問(wèn)題.

試題解析： （1）∵

∴；

猜想：的圖象關(guān)于對(duì)稱，下面證明猜想的正確性；

∵

∴的圖象關(guān)于對(duì)稱

（2）∵的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2013122709041036062670/SYS201312270904426271784744_DA.files/image008.png">，由（1）知的圖象關(guān)于對(duì)稱

設(shè) 

∴

∵   ∴    

又

∴   

∴為上的增函數(shù)，由對(duì)稱性知在上為減函數(shù)，

∴

∴的圖象除點(diǎn)外均在直線的下方.

考點(diǎn)：1.證明函數(shù)的對(duì)稱性；2.函數(shù)單調(diào)性的定義.