【題目】如圖1,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,AD⊥DC,BC=2AD=2DC,四邊形ABEF是正方形.將正方形ABEF沿AB折起到四邊形ABE1F1的位置,使平面ABE1F1⊥平面ABCD,M為AF1的中點,如圖2.
(I)求證:AC⊥BM;
(Ⅱ)求平面CE1M與平面ABE1F1所成銳二面角的余弦值.

【答案】解:(Ⅰ)證明四邊形ABE1F1是正方形,∴BE1⊥AB.

平面ABE1F1⊥平面ABCD,平面ABE1F1∩平面ABCD=AB,BE1面ABE1F1

∴BE1⊥平面ABCD,

∵AC平面ABCD,∴BE1⊥AC.

設(shè)AD=1,則AC=AB= ,∴AC⊥AB且AB∩BE1=B.

∴AC⊥面ABE1F1,又MB面ABE1F1∴AC⊥MB.

(Ⅱ)如圖以B為原點,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

則A(1,1,0),B(0,0,0),C(2,0,0),E1(0,0, ),M(1,1, ).

由題意得, , ,

設(shè)面CE1M的一個法向量為 ,

,可得

又平面ABE1F1得法向量為

設(shè)平面CE1M與平面ABE1F1所成銳二面角為θ.

cosθ=|cos |=

∴平面CE1M與平面ABE1F1所成銳二面角的余弦值為


【解析】(Ⅰ)只需證明BE1⊥AC.AC⊥AB且AB,可得AC⊥面ABE1F1,AC⊥MB.(Ⅱ)以B為原點,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.則A(1,1,0),B(0,0,0),C(2,0,0),E1(0,0, ),M(1,1, ).利用向量求解
【考點精析】掌握直線與平面垂直的性質(zhì)是解答本題的根本,需要知道垂直于同一個平面的兩條直線平行.

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A.
B.
C.
D.

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