Question

5．已知數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a₁=1，且滿足a_n+1-a_n≤2ⁿ，a_n-a_n+2≤-3×2ⁿ，則a₂₀₁₆=2²⁰¹⁶-1．

Answer 1

分析 a_n+1-a_n≤2ⁿ，可得a_n+2-a_n+1≤2ⁿ⁺¹，又a_n-a_n+2≤-3×2ⁿ，可得a_n+1-a_n≥2ⁿ，于是a_n+1-a_n=2ⁿ，再利用“累加求和”方法即可得出．

解答 解：∵a_n+1-a_n≤2ⁿ，
∴a_n+2-a_n+1≤2ⁿ⁺¹，又a_n-a_n+2≤-3×2ⁿ，∴a_n+1-a_n≥2ⁿ，
∴2ⁿ≤a_n+1-a_n≤2ⁿ，
∴a_n+1-a_n=2ⁿ，
∴a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁
=2^n-1+2^n-1+…+2+1
=$\frac{{2}^{n-1}}{2-1}$=2ⁿ-1．
∴a₂₀₁₆=2²⁰¹⁶-1．
故答案為：2²⁰¹⁶-1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了遞推關(guān)系、不等式的性質(zhì)、“累加求和”方法、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．