已知空間三點(diǎn)A（-2，0，2），B（-1，1，2），C（-3，0，4），設(shè)
a
=
AB
，
b
=
AC
．
（Ⅰ）求
a
和
b
的夾角θ的余弦值；
（Ⅱ）若向量k
a
+
b
與k
a
-2
b
互相垂直，求實(shí)數(shù)k的值；
（Ⅲ）若向量λ
a
-
b
與
a
-λ
b
共線，求實(shí)數(shù)λ的值．
分析：（I）利用向量夾角公式即可得出；
（II）利用向量垂直于數(shù)量積的關(guān)系即可得出；
（III）利用向量共線定理即可得出．
解答：解：
a
=
AB
=(1，1，0)，
b
=
AC
=(-1，0，2)．      
（Ⅰ）cosθ=
a
•
b
|
a
|•|
b
|
=
-1+0+0
2
×
5
=-
10
10
，
∴
a
和
b
的夾角θ的余弦值為-
10
10
．
（Ⅱ） k
a
+
b
=(k-1，k，2)，k
a
-2
b
=(k+2，k，-4)
∵向量k
a
+
b
與k
a
-2
b
互相垂直，
∴(k
a
+
b
)•(k
a
-2
b
)=(k-1，k，2)•(k+2，k，-4)=（k-1）（k+2）+k2-8=2k2+k-10=0
∴k=-
5
2
，或k=2．
（Ⅲ） λ
a
-
b
=(λ+1，λ，-2)，
a
-λ
b
=(1+λ，1，-2λ)
∵向量λ
a
-
b
與
a
-λ
b
共線，∴存在實(shí)數(shù)μ，使得λ
a
-
b
=μ(
a
-λ
b
)
即（λ+1，λ，-2）=μ（1+λ，1，-2λ）∴
λ+1=μ(λ+1)
λ=μ
-2=-2μλ

∴λ=1，或λ=-1．
點(diǎn)評(píng)：熟練掌握向量夾角公式、向量垂直于數(shù)量積的關(guān)系、向量共線定理等是解題的關(guān)鍵．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知空間三點(diǎn)A（-2，0，2），B（-1，1，2），C（-3，0，4），設(shè)
a
=
AB
，
b
=
AC
．
（1）求
a
和
b
的夾角的余弦值；
（2）若向量k
a
+
b
與k
a
-2
b
互相垂直，求實(shí)數(shù)k的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2011-2012年黑龍江省高二上學(xué)期期中考試?yán)砜茢?shù)學(xué) 題型：解答題

已知空間三點(diǎn)A(0,2,3),B(－2,1,6),C(1,－1,5)

求：⑴求以向量為一組鄰邊的平行四邊形的面積S；

⑵若向量分別與向量垂直，且||＝，求向量的坐標(biāo)。

 

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2013屆黑龍江省高二上學(xué)期期末考試?yán)砜茢?shù)學(xué) 題型：解答題

（10分）已知空間三點(diǎn)A(0,2,3),B(－2,1,6),C(1,－1,5)

求：⑴求以向量為一組鄰邊的平行四邊形的面積S；

⑵若向量分別與向量垂直，且||＝，求向量的坐標(biāo)。

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2010年廣東省高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)文卷 題型：解答題

．(本題14分)已知空間三點(diǎn)A(0,2,3),B(－2,1,6),C(1,－1,5)

⑴求以向量為一組鄰邊的平行四邊形的面積S；

⑵若向量分別與向量垂直，且＝，求向量的坐標(biāo)。

 

 

 

 

 

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