(2013•汕頭二模)已知函數(shù)f(x)是定義在實數(shù)集R上的奇函數(shù),當(dāng)x>0時,f(x)=ax+lnx,其中常數(shù)a∈R.
(1)求函數(shù)f(x)的解析式;
(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(-∞,-1)上是單調(diào)減函數(shù),求a的取值范圍;
(3)f′(x)函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù),問是否存在實數(shù)x0∈(1,e),使得對任意實數(shù)a,都有f′(x0)=
f(e)-f(1)e-1
成立?若存在,請求出x0的值;若不存在,請說明理由.
分析:(1)先設(shè)x∈(-∞,0)則-x∈(0,+∞),再求出f(-x)利用函數(shù)是奇函數(shù)求出f(x),最后用分段函數(shù)表示出函數(shù)的解析式;
(2)根據(jù)函數(shù)f(x)是奇函數(shù),若函數(shù)f(x)在區(qū)間(-∞,-1)上單調(diào)減,當(dāng)且僅當(dāng)f(x)在區(qū)間(1,+∞)上單調(diào)減,求導(dǎo),轉(zhuǎn)化為導(dǎo)數(shù)小于等于零恒成立,利用分離參數(shù),即可得a的取值范圍;
(3)求出
f(e)-f(1)
e-1
,和f′(x0),解方程即可求得x0的值,從而證明結(jié)論.
解答:解:(1)f(0)=0…(1分),x<0時,
f(x)=-f(-x)=ax-ln(-x),
所以f(x)=
ax+lnx,x>0
0,x=0
ax-ln(-x),x<0

(2)函數(shù)f(x)是奇函數(shù),則f(x)在區(qū)間(-∞,-1)上單調(diào)減少,
當(dāng)且僅當(dāng)f(x)在區(qū)間(1,+∞)上單調(diào)減少,
當(dāng)x>0時,f(x)=ax+lnx,f/(x)=a+
1
x
,
f/(x)=a+
1
x
<0
a<-
1
x
,-
1
x
在區(qū)間(1,+∞)的取值范圍為(-1,0),
所以a的取值范圍為(-∞,-1]
(3)存在.
f(e)-f(1)
e-1
=
(ae+1)-a
e-1
=a+
1
e-1
…,
f/(x0)=a+
1
x0
=a+
1
e-1
,得x0=e-1,
因為1<e-1<e,
所以x0=e-1為所求.
點評:此題是個難題.本題主要考查導(dǎo)數(shù)的概念、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、利用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式和利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的能力,考查分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想和等價變換思想.
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