Question

6．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$$+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{1}{2}$，右焦點F₂到直線x+y+5=0的距離為3$\sqrt{2}$．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若直線l經過橢圓C的右焦點F₂，且與拋物線y²=4x交于A₁，A₂兩點，與橢圓C交于B₁，B₂兩點，當以B₁B₂為直徑的圓經過橢圓C的左焦點F₁時，求以A₁A₂為直徑的圓的標準方程．

Answer 1

分析 （1）運用橢圓的離心率公式和點到直線的距離公式，計算可得c=1，a=2，由a，b，c的關系可得b，進而得到橢圓方程；
（2）當直線l與x軸垂直時，B₁（1，$\frac{3}{2}$），B₂（1，-$\frac{3}{2}$），又F₁（-1，0），不滿足條件；當直線l不與x軸垂直時，設直線l的方程為：y=k（x-1），由$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{3{x}^{2}+4{y}^{2}=12}\end{array}\right.$，可得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0，由此利用根的判別式、韋達定理、圓的性質、弦長公式能求出|A₁A₂|的長，可得所求圓的半徑，運用中點坐標公式可得圓心，進而得到所求圓的方程．

解答 解：（1）由題意可得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，
右焦點F₂（c，0）到直線x+y+5=0的距離為3$\sqrt{2}$，
可得$\frac{|c+5|}{\sqrt{2}}$=3$\sqrt{2}$，解得c=1，
即有a=2，b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
可得橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（2）當直線l與x軸垂直時，B₁（1，$\frac{3}{2}$），B₂（1，-$\frac{3}{2}$），又F₁（-1，0），
此時$\overrightarrow{{B}_{1}{F}_{1}}$•$\overrightarrow{{B}_{2}{F}_{1}}$≠0，所以以B₁B₂為直徑的圓不經過F₁．不滿足條件；
當直線l不與x軸垂直時，設L：y=k（x-1），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{3{x}^{2}+4{y}^{2}=12}\end{array}\right.$，即（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0，
因為焦點在橢圓內部，所以恒有兩個交點．
設B₁（x₁，y₁），B₂（x₂，y₂），則x₁+x₂=$\frac{8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4{k}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$，
因為以B₁B₂為直徑的圓經過F₁，所以$\overrightarrow{{B}_{1}{F}_{1}}$•$\overrightarrow{{B}_{2}{F}_{1}}$=0，又F₁（-1，0），
所以（-1-x₁）（-1-x₂）+y₁y₂=0，
即（1+k²）x₁x₂+（1-k²）（x₁+x₂）+1+k²=0，
代入韋達定理，解得k²=$\frac{9}{7}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=4x}\\{y=k（x-1）}\end{array}\right.$，得k²x²-（2k²+4）x+k²=0，
因為直線l與拋物線有兩個交點，所以k≠0，
設A₁（x₃，y₃），A₂（x₄，y₄），則x₃+x₄=$\frac{2{k}^{2}+4}{{k}^{2}}$=2+$\frac{4}{{k}^{2}}$，x₃x₄=1，
所以|A₁A₂|=x₃+x₄+p=2+$\frac{4}{{k}^{2}}$+2=$\frac{64}{9}$，
即有$\frac{1}{2}$|A₁A₂|=$\frac{32}{9}$，
A₁A₂的中點為（1+$\frac{2}{{k}^{2}}$，$\frac{2}{k}$），即為（$\frac{23}{9}$，±$\frac{2\sqrt{7}}{3}$），
可得以A₁A₂為直徑的圓的標準方程為（x-$\frac{23}{9}$）²+（y+$\frac{2\sqrt{7}}{3}$）²=$\frac{1024}{81}$，
或（x-$\frac{23}{9}$）²+（y-$\frac{2\sqrt{7}}{3}$）²=$\frac{1024}{81}$．

點評 本題考查橢圓的標準方程的求法，考查弦長的求法，解題時要注意根的判別式、韋達定理、圓的性質、弦長公式的合理運用，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．