Question

8．雙曲線kx²-y²=1的一條漸近線與直線2x-y+3=0垂直，則雙曲線的離心率是$\frac{{\sqrt{5}}}{2}$．

Answer 1

分析 求出雙曲線的漸近線的方程，根據(jù)直線垂直的關(guān)系建立方程關(guān)系求出k的值即可．

解答 解：∵雙曲線kx²-y²=1的一條漸近線與直線2x-y+3=0垂直，
∴k＞0，
雙曲線的漸近線方程為y=±$\sqrt{k}$x，
∵與直線2x-y+3=0的斜率k=2，
∴與直線2x-y+3=0垂直的漸近線的斜率k=-$\frac{1}{2}$，
即$\sqrt{k}$=$\frac{1}{2}$，得k=$\frac{1}{4}$，
雙曲線的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$-y²=1，
則a=2，c=$\sqrt{5}$，
則離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{{\sqrt{5}}}{2}$，
故答案為：$\frac{{\sqrt{5}}}{2}$

點評 本題主要考查雙曲線離心率的計算，根據(jù)雙曲線與直線的垂直關(guān)系，求出k的值是解決本題的關(guān)鍵．考查學(xué)生的計算能力．