設(shè)F1、F2分別為橢圓C:=1(a>b>0)的左、右兩個(gè)焦點(diǎn).

(1)若橢圓C上的點(diǎn)A(1,)到F1、F2兩點(diǎn)的距離之和等于4,寫出橢圓C的方程和焦點(diǎn)坐標(biāo).

(2)設(shè)點(diǎn)K是(1)中所得橢圓上的動(dòng)點(diǎn),求線段F1K的中點(diǎn)的軌跡方程.

(3)已知橢圓具有性質(zhì):若M、N是橢圓C上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn),點(diǎn)P是橢圓上任意一點(diǎn),當(dāng)直線PM、PN的斜率都存在,并記為kPM、kPN時(shí),那么kPM與kPN之積是與點(diǎn)P位置無(wú)關(guān)的定值,試寫出雙曲線=1具有類似特性的性質(zhì)并加以證明.

答案:
解析:

  分析:由已知條件可寫出橢圓方程及代入法求軌跡,本題不是直接證明橢圓中的性質(zhì),而是類似地轉(zhuǎn)化到雙曲線中證明雙曲線具有的性質(zhì),用斜率公式及雙曲線方程即可得證.

  解:(1)橢圓C的焦點(diǎn)在x軸上,由橢圓上的點(diǎn)A到F1、F2兩點(diǎn)的距離之和是4,得2a=4,即a=2.

  又點(diǎn)A(1,)在橢圓上,因此=1,b2=3.

  ∴c2=a2-b2=1.

  ∴橢圓C的方程為=1,焦點(diǎn)F1(-1,0),F(xiàn)2(1,0).

  (2)設(shè)橢圓C上的動(dòng)點(diǎn)為K(x1,y1),線段F1K的中點(diǎn)Q(x,y)滿足x=,y=

  ∴x1=2x+1,y1=2y.

  ∴=1,即(x+)2=1為所求的軌跡方程.

  (3)類似的性質(zhì)為:若M、N是雙曲線=1上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn),點(diǎn)P是雙曲線上任意一點(diǎn),當(dāng)直線PM、PN的斜率都存在,并記為kPM、kPN時(shí),那么kPM與kPN之積是與點(diǎn)P位置無(wú)關(guān)的定值.設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(m,n),則點(diǎn)N的坐標(biāo)為(-m,-n),其中=1.

  又設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y),由kPM,

  kPN,得kPM·kPN·

  將y2x2-b2,n2m2-b2,代入得kPM·kPN


提示:

類比定義和性質(zhì)是中學(xué)數(shù)學(xué)中最常考查的一類問(wèn)題,它能很好地培養(yǎng)學(xué)生探索問(wèn)題的能力,應(yīng)該給予足夠的重視.有興趣的同學(xué)也可證明橢圓具有的性質(zhì).類比是研究圓錐曲線的一種方法.


練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

設(shè)F1,F(xiàn)2分別為橢C:
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)的左、右兩個(gè)焦點(diǎn),橢圓C上的點(diǎn)A(1,
3
2
)
到兩點(diǎn)的距離之和等于4.
(Ⅰ)求橢圓C的方程和焦點(diǎn)坐標(biāo);
(Ⅱ)設(shè)點(diǎn)P是(Ⅰ)中所得橢圓上的動(dòng)點(diǎn)Q(0.
1
2
)
求|PQ|的最大值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

設(shè)F1,F(xiàn)2分別為橢C:數(shù)學(xué)公式(a>b>0)的左、右兩個(gè)焦點(diǎn),橢圓C上的點(diǎn)數(shù)學(xué)公式到兩點(diǎn)的距離之和等于4.
(Ⅰ)求橢圓C的方程和焦點(diǎn)坐標(biāo);
(Ⅱ)設(shè)點(diǎn)P是(Ⅰ)中所得橢圓上的動(dòng)點(diǎn)數(shù)學(xué)公式求|PQ|的最大值.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案