Question

20．一彈性小球從100m高處自由落下，每次著地后又跳回原來高度的$\frac{2}{3}$再落下，設它第n次著地時，共經過了S_n，則當n≥2時，有（　�。�

• A． S_n的最小值為100
• B． S_n的最大值為400
• C． S_n＜500
• D． S_n≤500

Answer 1

分析 由已知條件利用等比數(shù)列性質推導出第n次著地時共經過了$100+100×\frac{2}{3}×2+100×{（\frac{2}{3}）^2}×2+…+100×{（\frac{2}{3}）^{n-1}}×2$米，由題意S_n是關于n的單調增函數(shù)，由此能求出結果．

解答 解：第一次著地時，經過了100米，
第二次著地時共經過了$100+100×\frac{2}{3}×2$米，
第三次著地時共經過了$100+100×\frac{2}{3}×2+100×{（\frac{2}{3}）^2}×2$米，
…
以此類推，第n次著地時共經過了$100+100×\frac{2}{3}×2+100×{（\frac{2}{3}）^2}×2+…+100×{（\frac{2}{3}）^{n-1}}×2$米，
∴${S_n}=100+100×\frac{2}{3}×2+100×{（\frac{2}{3}）^2}×2+…+100×{（\frac{2}{3}）^{n-1}}×2$
=$100+\frac{{\frac{400}{3}[1-{{（\frac{2}{3}）}^{n-1}}]}}{{1-\frac{2}{3}}}=100+400[1-{（\frac{2}{3}）^{n-1}}]$，
由題意S_n是關于n的單調增函數(shù)，
∴當n=2時，S_n取得最小值${S_2}=\frac{700}{3}$，且S_n＜100+400=500．
故選：C．

點評 本題考查數(shù)列的前n項和的取值范圍的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意等比數(shù)列的性質的合理運用．