Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且a₁=1，a_n+1=2S_n+1，（n∈N﹡），數(shù)列{b_n}滿足b_n=2log₃a_n+3，（n∈N^*）．
（1）求a_n，b_n；
（2）求數(shù)列{a_nb_n}的前n項和T_n．

Answer 1

解：（1）由a_n+1=2S_n+1，得a_n=2S_n-1+1，（n≥2）
兩式相減，得a_n+1-a_n=2a_n，a_n+1=3a_n，（n≥2）
又a₂=2S₁+1，∴a₂=3a₁．解得a₁=1
所以{a_n}是首項為1，公比為3的等比數(shù)列．
∴
（2）由（1）知：a_nb_n=（2n+1）3^n-1
∴
3T_n=3×3+5×3²+…+（2n-1）×3^n-1+（2n+1）×3ⁿ
∴
=
∴
分析：（1）由a_n+1=2S_n+1，得a_n=2S_n-1+1，（n≥2），兩式相減，易得{a_n}是首項為1，公比為3的等比數(shù)列，可得通項公式，進(jìn)而可得b_n；
（2）由數(shù)列a_nb_n=（2n+1）3^n-1可用錯位相減法來求和．
點評：本題為等差等比數(shù)列的綜合應(yīng)用，用好錯位相減法是解決問題的關(guān)鍵，屬中檔題．