Question

4．等差數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，a₂₂-3a₇=2，且$\frac{1}{a_2}$，$\sqrt{{S_2}-3}$，S₃成等比數(shù)列，n∈N^*．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）令b_n=$\frac{2}{{{a_n}{a_{n+2}}}}$，數(shù)列{b_n}的前n項和為T_n，若對于任意的n∈N^*，都有8T_n＜2λ²+5λ成立，求實
數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

分析 （I）利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式及其前n項和公式即可得出；
（II）利用“裂項求和”方法、數(shù)列的單調(diào)性即可得出．

解答 解：（Ⅰ）設等差數(shù)列{a_n}的公差為d
由$\left\{{\begin{array}{l}{{a_{22}}-3{a_7}=2}\\{{{（\sqrt{{S_2}-3}）}^2}=\frac{1}{a_2}•{S_3}}\end{array}}\right.$$⇒\left\{{\begin{array}{l}{（{a_1}+21d）-3（{a_1}+6d）=2}\\{（2{a_1}+d-3）•（{a_1}+d）=3{a_1}+3d}\end{array}}\right.$，
即$\left\{{\begin{array}{l}{-2{a_1}+3d=2}\\{（{a_1}+d）（2{a_1}+d-6）=0}\end{array}}\right.$，
解得：$\left\{{\begin{array}{l}{{a_1}=2}\\{d=2}\end{array}}\right.$，或 $\left\{{\begin{array}{l}{{a_1}=-\frac{2}{5}}\\{d=\frac{2}{5}}\end{array}}\right.$，
當${a_1}=-\frac{2}{5}$，$d=\frac{2}{5}$時，$\sqrt{{S_2}-3}=\sqrt{-\frac{17}{5}}$沒有意義，
∴a₁=2，d=2，此時a_n=2+2（n-1）=2n．
（Ⅱ）${b_n}=\frac{2}{{{a_n}{a_{n+2}}}}=\frac{1}{2n（n+2）}=\frac{1}{4}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）$，
T_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n=$\frac{1}{4}（\frac{1}{1}-\frac{1}{3}）+\frac{1}{4}（\frac{1}{2}-\frac{1}{4}）+\frac{1}{4}（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）+\frac{1}{4}（\frac{1}{4}-\frac{1}{6}）+\frac{1}{4}（\frac{1}{5}-\frac{1}{7}）+\frac{1}{4}（\frac{1}{6}-\frac{1}{8}）$$+…+\frac{1}{4}（\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}）+\frac{1}{4}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）$=$\frac{1}{4}（1+\frac{1}{2}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}）=\frac{3}{8}-\frac{1}{4}（\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}）$，
∴$8{T_n}=3-2（\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}）＜3$，
為滿足題意，必須2λ²+5λ≥3，∴$λ≥\frac{1}{2}$或λ≤-3．

點評 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式及其前n項和公式、“裂項求和”方法、數(shù)列的單調(diào)性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．