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4.已知定義在R上的奇函數(shù),當x>0時,f(x)=alnx+1ax(a>0),且函數(shù)f(x)在x=1處的切線斜率為32,則方程f(x)=0的實數(shù)根的個數(shù)為( �。�
A.0B.2C.4D.5

分析 求出函數(shù)f(x)的導數(shù),由切線的斜率解方程可得a=2,當x>0時,由f(x)=0,即為4xlnx+1=0,令g(x)=4xlnx+1,求出導數(shù),求得單調(diào)區(qū)間和極值、最小值,運用零點存在定理,可得g(x)有兩個零點,即x>0時,f(x)=0有兩個不等實根,由奇函數(shù)的性質(zhì)可得f(x)=0的實根的個數(shù),

解答 解:f(x)=alnx+1ax的導數(shù)為f′(x)=ax-1ax2,a>0,
可得函數(shù)f(x)在x=1處的切線斜率為a-1a=32,
解得a=2,可得f(x)=2lnx+12x,x>0,
由f(x)為R上的奇函數(shù),可得f(0)=0,
當x>0時,由f(x)=0,即為4xlnx+1=0,
令g(x)=4xlnx+1,g′(x)=4(1+lnx),
當0<x<1e時,g′(x)<0,g(x)遞減,
當x>1e時,g′(x)>0,g(x)遞增.
可得x=1e處g(x)取得極小值,且為最小值1-4e<0,
當x趨向于0時,g(x)趨向于1,g(1e)<0,g(1)=1>0,
可得g(x)=0有兩個不等的實根,即f(x)=0有兩個實根;
由奇函數(shù)的圖象關于原點對稱,
可得x<0時,f(x)=0也有兩個不等的實根.
綜上可得f(x)=0共有5個實根.
故選:D.

點評 本題考查函數(shù)的性質(zhì)和運用,主要是函數(shù)的奇偶性的運用,考查函數(shù)方程的轉化思想,注意運用導數(shù)求出單調(diào)區(qū)間和極值、最值,以及函數(shù)零點存在定理的運用,屬于中檔題.

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 專業(yè) 人數(shù)平均分 
 旅游專業(yè) 153人 78
 機電專業(yè)72人 81 
A.在本次數(shù)學抽測考試李鈞的成績比方莉好
B.在本次數(shù)學抽測考試方莉的成績一定沒有李鈞好
C.兩專業(yè)全體學生本次數(shù)學考試的平均成績?yōu)?\overline{x}=\frac{78+81}{2}$=79.5分
D.兩專業(yè)全體學生本次數(shù)學考試的平均成績?yōu)?\overline{x}=\frac{78×153+81×72}{153+72}$=78.96分

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