Question

已知數(shù)列{a_n}中，a1=

1

2

，a_n+1-a_n=

3-2n

2n+1

（n∈N^*）．
（1）求數(shù)列{a_n}中的最大項；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項公式．

Answer 1

分析：（1）首先當n=1時，a₂-a₁=

3-2

4

＞0，可知a₂＞a₁，當n≥2時，a_n+1-a_n=

3-2n

2n+1

＜0，可得a_n+1＜a_n．因此當n≥2時，數(shù)列{a_n}是遞減數(shù)列，因而可知數(shù)列{a_n}中最大項為a₂．
（2）當n≥2時，可知a_n=a₁+（a₂-a₁）+（a₃-a₂）++（a_n-1-a_n-2）+（a_n-a_n-1），代入各項的值，根據(jù)式子的特征設置ka_n代入各項值，兩式相減即可求出數(shù)列{a_n}的通項公式an=

2n-1

2n

；再檢查當n=1時，通項式是否符合，若不符合，則分情況，若符合，則該數(shù)列的通項公式為an=

2n-1

2n

．

解答：解：（1）當n=1時，a₂-a₁=

3-2

4

＞0．
∴a₂＞a₁，當n≥2時，a_n+1-a_n=

3-2n

2n+1

＜0，
∴a_n+1＜a_n．
故當n≥2時，數(shù)列{a_n}是遞減數(shù)列．
綜上所述，對一切n∈N^*都有a₂≥a_n．
∴數(shù)列{a_n}中最大項為a₂．
（2）由a1=

1

2

，a_n+1-a_n=

3-2n

2n+1

（n∈N^*），
當n≥2時，a_n=a₁+（a₂-a₁）+（a₃-a₂）++（a_n-1-a_n-2）+（a_n-a_n-1）=

1

2

+

3-2×1

22

+

3-2×2

23

+

3-2×3

24

++

3-2×(n-1)

2n

，①

1

2

an=

1

22

+

3-2×1

23

+

3-2×2

24

+

3-2×3

25

++

3-2×(n-2)

2n

+

3-2×(n-1)

2n+1

，②
①-②，得

1

2

an=

1

2

-

1

22

-

1

23

--

1

2n-1

-

5-2n

2n+1

，
∴an=1-(

1

2

+

1

22

++

1

2n-2

)-

5-2n

2n

=

2n-1

2n

．
又n=1時，a₁=

1

2

適合上式，
∴an=

2n-1

2n

（n∈N^*）．

點評：此題主要考根據(jù)數(shù)列的公式判斷函數(shù)的單調(diào)性，以及數(shù)列的通項公式的推導方法，是基礎題．