Question

等邊三角形ABC的邊長為3，點D、E分別是邊AB、AC上的點，且滿足

AD

DB

=

CE

EA

=

1

2

（如圖1）．將△ADE沿DE折起到△A₁DE的位置，使二面角A₁-DE-B成直二面角，連結(jié)A₁B、A₁C（如圖1）．
（Ⅰ）求證：A₁D⊥平面BCED：
（Ⅱ）在線段BC上是否存在點P，使直線PA₁與平面A₁BD所成的角的正弦值為

3

2

？若存在，求出PB的長，若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：直線與平面所成的角,平面與平面垂直的判定

專題：空間角

分析：（Ⅰ）由已知條件推導出AD=1，AE=2，DE=

3

，從而得到AD⊥DE，拆疊后有A₁D⊥DE，由此能夠證明A₁D⊥平面BCED．
（Ⅱ）假設(shè)在線段BC上存在點P，使直線PA₁與平面A₁BD所成的角的正弦值為

3

2

．作PH⊥BD于點H，連結(jié)A₁H，A₁P，由已知條件推導出∠PA₁H是直線PA₁與平面A₁BD所成的角，且∠PA₁H=60°，由此能推導出在線段BC上存在點P，使直線PA₁與平面A₁BD所成的角的正弦值為

3

2

，并能求出此時PB的長．

解答： （Ⅰ）證明：∵等邊△ABC的邊長為3，且

AD

DB

=

CE

EA

=

1

2

，
∴AD=1，AE=2，
在△ADE中，∠DAE=60°，
由余弦定理得DE=

12+22-2×1×2×cos60°

=

3

，
∵AD²+DE²=AE²，
∴AD⊥DE，
拆疊后有A₁D⊥DE，
∵二面角A₁-DE-B是直二面角，
∴平面A₁DE⊥平面BCED，
又∵平面A₁DE∩平面BCED=DE，A₁D?平面A₁DE，A₁D⊥DE，
∴A₁D⊥平面BCED．
（Ⅱ）解：假設(shè)在線段BC上存在點P，
使直線PA₁與平面A₁BD所成的角的正弦值為

3

2

，
如圖，作PH⊥BD于點H，連結(jié)A₁H，A₁P，
由（Ⅰ）有A₁D⊥平面BCDE，
∵PH?平面BCED，∴A₁D⊥PH，
又∵A₁D∩BD=D，∴PH⊥平面A₁BD，
∴∠PA₁H是直線PA₁與平面A₁BD所成的角，
∵直線PA₁與平面A₁BD所成的角的正弦值為

3

2

，
∴∠PA₁H=60°，
設(shè)PB=x（0≤x≤3），則BH=

x

2

，PH=

3

2

x，
在Rt△PA₁H中，∠PA₁H=60°，∴A1H=

1

2

x，
在Rt△A₁DH中，A1D=1，DH=2-

1

2

x，
由A1D2+DH2=A1H2，
得12+(2-

1

2

x)2=(

1

2

x)2，解得x=

5

2

，滿足0≤x≤3，符合題意，
∴在線段BC上存在點P，使直線PA₁與平面A₁BD所成的角的正弦值為

3

2

，
此時PB=

5

2

．

點評：本題考查直線與平面垂直的證明，考查滿足條件的點是否存在的判斷，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．