Question

已知S₁為直線x=0，y=4-t²及y=4-x²所圍成的面積，S₂為直線x=2，y=4-t²及y=4-x²所圍成圖形的面積（t為常數(shù)）．
（1）若t=

2

時(shí)，求S₂；                 
（2）若t∈（0，2），求S₁+S₂的最大值．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)t=

2

時(shí)，S₂=

∫

2 2

[2-(4-x2)]dx，然后求出被積函數(shù)的原函數(shù)，從而求出S₂的值；
（2）分別利用定積分表示出S₁與S₂，從而得到S=S₁+S₂關(guān)于t的函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，從而可求出S的最大值．

解答：解：（1）當(dāng)t=

2

時(shí)，S₂=

∫

2 2

[2-(4-x2)]dx=（

1

3

x³-2x）

|

2 2

=

4

3

(

2

-1)．…（4分）
（2）t∈（0，2），S₁=

∫

2 t

[(4-x2)-(4-t2)]dx=

(t2x- 1 3 x3)|

t 0

=

2

3

t3，…（6分）
S₂=

∫

2 t

[(4-t2)-(4-x2)]dx=

( 1 3 x3-t2x)|

t 0

=

8

3

-2t2+

2

3

t3，…（10分）
∴S=S₁+S₂=

4

3

t3-2t2+

8

3

，
S′=4t²-4t=4t（t-1），令S′=0得t=0（舍去）或t=1，
當(dāng)0＜t＜1時(shí)，S′＜0，S單調(diào)遞減，
當(dāng)t＞1時(shí)，S′＞0，S單調(diào)遞增，
∴當(dāng)t=1時(shí)，S_min=2．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了定積分在求面積中的應(yīng)用，以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)在給定區(qū)間上的最值，同時(shí)考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．