Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右準線l：x=

9 5

5

，離心率e=

5

3

，A，B是橢圓上的兩動點，動點P滿足

OP

=

OA

+λ

OB

，（其中λ為常數）．
（1）求橢圓標準方程；
（2）當λ=1且直線AB與OP斜率均存在時，求|k_AB|+|k_OP|的最小值；
（3）若G是線段AB的中點，且k_OA•k_OB=k_OG•k_AB，問是否存在常數λ和平面內兩定點M，N，使得動點P滿足PM+PN=18，若存在，求出λ的值和定點M，N；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由已知條件推導出

a2 c = 9 5 5 c a = 5 3

，由此能求出橢圓標準方程．
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由

OP

=

OA

+

OB

，得P（x₁+x₂，y₁+y₂），從而求出k_AB•k_OP=-

4

9

．由此能求出|k_AB|+|k_OP|的最小值．
（3）由已知條件推導出4x₁x₂+9y₁y₂=0，設P（x，y），由

OP

=

OA

+λ

OB

，得到x=x₁+λx₂，y=y₁+λy₂．利用點差法能求出4x²+9y²=36+36λ²．由此能求出λ=±2

2

，M(3

5

，0)，N(-3

5

，0)．

解答： 解：（1）∵橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右準線l：x=

9 5

5

，離心率e=

5

3

，
∴

a2 c = 9 5 5 c a = 5 3

，解得a=3．c=

5

．
又b²=a²-c²，∴b²=4．
∴橢圓標準方程為

x2

9

+

y2

4

=1．…（5分）
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由

OP

=

OA

+

OB

，得P（x₁+x₂，y₁+y₂）．
∴kAB•kOP=

y1-y2

x1-x2

•

y1+y2

x1+x2

=

y 2 1 - y 2 2

x 2 1 - x 2 2

=-

4

9

．
由|k_AB|∈（0，+∞），得|kAB|+|kOP|≥2

|kAB•kOP|

=

4

3

，
當且僅當kAB=±

2

3

時取等號，
∴|k_AB|+|k_OP|的最小值是

4

3

．…（10分）
（3）∵kAB•kOG=

y1-y2

x1-x2

•

y1+y2

x1+x2

=

y 2 1 - y 2 2

x 2 1 - x 2 2

=-

4

9

．
∴k_OA•k_OB=

y1y2

x1x2

=-

4

9

．
∴4x₁x₂+9y₁y₂=0．…（11分）
設P（x，y），則由

OP

=

OA

+λ

OB

，
得（x，y）=（x₁，y₁）+λ（x₂，y₂）=（x₁+λx₂，y₁+λy₂），
即x=x₁+λx₂，y=y₁+λy₂．因為點A、B在橢圓4x²+9y²=36上，
所以

4x12+9y12=36 4x22+9y22=36

，
故4x²+9y²=4（x12+λ2x22+2λx1x2）+9（y1 2+λ²y22+2λy₁y₂）
=（4x12+9y12）+λ²（4x22+9y22）+2λ（4x₁x₂+9y₁y₂）
=36+36λ²+2λ（4x₁x₂+9y₁y₂）．
所以4x²+9y²=36+36λ²．
即

x2

9+9λ2

+

y2

4+4λ2

=1，所以P點是橢圓

x2

9+9λ2

+

y2

4+4λ2

=1上的點，
設該橢圓的左、右焦點為M，N，
則由橢圓的定義PM+PN=18得18=2

9+9λ2

，
∴λ=±2

2

，M(3

5

，0)，N(-3

5

，0)．…（16分）

點評：本題考查橢圓方程的求法，考查兩線段和的最小值的求法，考查滿足條件的實數值和定點坐標是否存在的判斷與求解，解題時要認真審題，注意點差法的合理運用．