Question

（本小題8分）已知線段AB的兩個端點(diǎn)A、B分別在x軸和y軸上滑動，且∣AB∣=2．
（1）求線段AB的中點(diǎn)P的軌跡C的方程；
（2）求過點(diǎn)M(1，2)且和軌跡C相切的直線方程．

Answer 1

(1)點(diǎn)P的軌跡C的方程為x²+y²=1． (2) x=1 或3x-4y+5=0 。

本題考查點(diǎn)軌跡方程的求法，兩點(diǎn)間的距離公式的應(yīng)用，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，注意考慮切線的斜率不存在的情況，這是易錯點(diǎn)
（1）設(shè)P（x，y），由|AB|=2，且P為AB的中點(diǎn)，可得|OP|=1，由兩點(diǎn)間的距離公式求得點(diǎn)P的軌跡方程．
（2）①當(dāng)切線的斜率不存在時，由條件易得x=1符合條件；②當(dāng)切線的斜率存在時，設(shè)出切線方程，由切線的性質(zhì)可解得斜率k的值，用點(diǎn)斜式求得切線方程．
解: (1) 方法一：設(shè)P(x , y ),   
∵∣AB∣=2,且P為AB的中點(diǎn)，
∴∣OP∣=1                 ……………………2分
∴點(diǎn)P的軌跡方程為x²+y²=1．  ……………………4分
方法二：設(shè)P(x , y )， ∵P為AB的中點(diǎn)，
∴A (2x , 0 ), B(0 , 2y ),         ………………………2分
又∵∣AB∣=2     ∴(2x)²+(2y)²=2             
化簡得點(diǎn)P的軌跡C的方程為x²+y²=1． ……………4分
(2) ①當(dāng)切線的斜率不存在時，切線方程為x=1,
由條件易得  x=1符合條件;     ………………5分
②當(dāng)切線的斜率存在時，設(shè)切線方程為 y-2=k(x-1) 即kx-y+2-k=0
由    得k=,   ∴切線方程為y-2= (x-1)
即 3x-4y+5=0 
綜上，過點(diǎn)M(1，2)且和軌跡C相切的直線方程為：
x=1 或3x-4y+5=0      ……………………8分