Question

某銷售商銷售某品牌手機，該品牌手機進價為每部1580元，零售價為每部1880元．為促進銷售，擬采用買一部手機贈送一定數量禮物的方法，且贈送禮物的價值不超過180元．統(tǒng)計表明：在促銷期間，禮物價值每增加15元（禮物的價值都是15元的整數倍，如禮物價值為30元，可視為兩次增加15元，其余類推），銷售量都增加11%．
（1）當贈送禮物的價值為30元時，銷售的總利潤變?yōu)樵瓉聿毁浰投Y物時的多少倍？
（2）試問贈送禮物的價值為多少元時，商家可獲得最大利潤？

Answer 1

解：（1）設該品牌手機在不贈送禮物的條件下銷售量為m部，則原來利潤為（1880-1580）m=300m元，
當贈送禮物的價值為30元時，銷售的總利潤為（1880-1580-30）m（1+11%）²=1.2321×270m，，即當贈送禮物的價值為30元時，銷售的總利潤變?yōu)樵瓉聿毁浰投Y物時的1.1倍．
（2）當贈送禮物的價值為15x元時，銷售的總利潤為f（x）元，則
f（x）=（1880-1580-15x）•m•（1+11%）^x=15m（20-x）•1.11^x，（x∈N，且x≤12），
∴f（x+1）-f（x）=15m（1.09-0.11x）•1.11^x，
令f（x+1）-f（x）≥0，得，
∵x∈N，且x≤12，
∴當x≤9時，f（x+1）＞f（x），當9＜x≤12時，f（x+1）＜f（x）；
所以，當贈送禮物的價值為150元時，可以獲得最大利潤．
分析：（1）設該品牌手機在不贈送禮物的條件下銷售量為m部，則原來利潤為（1880-1580）m元，當贈送禮物的價值為30元時，銷售的總利潤為（1880-1580-30）m（1+11%）²，兩式相比，可得結果；
（2）當贈送禮物的價值為15x元時，銷售的總利潤為f（x）元，則f（x）=（1880-1580-15x）•m•（1+11%）^x，（x∈N，且x≤12），由f（x）的增減性，得x=10時，f（x）取得最大值，即獲得最大利潤．
點評：本題考查了利潤函數模型的應用，也是指數函數模型的應用，并且利用函數的增減性求得函數的最值．