Question

在長(zhǎng)為20m，寬為16m的長(zhǎng)方形展廳正中央有一圓盤形展臺(tái)（圓心為點(diǎn)C），展廳入口位于長(zhǎng)方形的長(zhǎng)邊的中間，在展廳一角B點(diǎn)處安裝監(jiān)控?cái)z像頭，使點(diǎn)B與圓C在同一水平面上，且展臺(tái)與入口都在攝像頭水平監(jiān)控范圍內(nèi)（如圖陰影所示）．

（1）若圓盤半徑為2

5

m，求監(jiān)控?cái)z像頭最小水平視角的正切值；
（2）過監(jiān)控?cái)z像頭最大水平視角為60°，求圓盤半徑的最大值．（注：水平攝像視角指鏡頭中心點(diǎn)水平觀察物體邊緣的實(shí)現(xiàn)的夾角．）

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓的位置關(guān)系

專題：計(jì)算題,直線與圓

分析：（1）過B作圓C的切線BE，切點(diǎn)為E，設(shè)圓C所在平面上入口中點(diǎn)為A，連接CA，CE，CB，則CE⊥BE，⊥CA⊥AB，可得監(jiān)控?cái)z像頭水平視角為∠ABE時(shí)，水平視角最��；
（2）當(dāng)∠ABE=60°時(shí)，若直線BE與圓C相切，則圓C的半徑最大．

解答： 解：（1）過B作圓C的切線BE，切點(diǎn)為E，設(shè)圓C所在平面上入口中點(diǎn)為A，連接CA，CE，CB，則CE⊥BE，⊥CA⊥AB
∴監(jiān)控?cái)z像頭水平視角為∠ABE時(shí)，水平視角最�。�
在直角三角形ABC中，AB=10，AC=8，tan∠ABC=

4

5

，
在直角三角形BCE中，CE=2

5

，BE=

CB2-CE2

=12，tan∠CBE=

5

6

，
∴tan∠ABE=tan（∠ABC+∠CBE）=1+

3 5

10

，
∴監(jiān)控?cái)z像頭最小水平視角的正切值為1+

3 5

10

；
（2）當(dāng)∠ABE=60°時(shí)，若直線BE與圓C相切，則圓C的半徑最大．
在平面ABC內(nèi)，以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，BA為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，則直線BE方程為y=

3

x，
∴CE=

|10 3 -8|

3+1

=5

3

-4，
∴圓C的半徑最大為5

3

-4（m）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．