已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的長軸長為4，若點P是橢圓C上任意一點，過原點的直線l與橢圓相交于M、N兩點，記直線PM、PN的斜率分別為KPM、KPN，當KPM•KPN=-
1
4
時，則橢圓方程為（　�。�
分析：由長軸長易求a值，設P（x0，y0），直線l方程為y=kx，M（x1，kx1），N（-x1，-kx1），由KPM•KPN=-
1
4
可得一等式，再由P在橢圓上可得一等式，由兩式可消去y0，由P為橢圓任意點可知該式與x0無關，由此可求得b值．
解答：解：由長軸長為4得2a=4，解得a=2，
設P（x0，y0），直線l方程為y=kx，M（x1，kx1），N（-x1，-kx1），
則KPM=
y0-kx1
x0-x1
，KPN=
y0+kx1
x0+x1
，
由KPM•KPN=-
1
4
得，
y0-kx1
x0-x1
•
y0+kx1
x0+x1
=-
1
4
，即
y02-k2x12
x02-x12
=-
1
4
，
所以4y02=（4k2+1）x12-x02①，
又P在橢圓上，所以
x02
4
+
y02
b2
=1，即4y02=4b2-b2x02，代入①式得4b2-b2x02=（4k2+1）x12-x02，
所以4b2=（4k2+1）x12+（b2-1）x02，
因為點P為橢圓上任意一點，所以該式恒成立與x0無關，
所以b2-1=0，解得b=1，
所以所求橢圓方程為
x2
4
+y2=1．
故選D．
點評：本題考查直線與圓錐曲線的位置關系，考查恒成立問題，解決本題的關鍵是正確理解“點P的任意性”，難度較大．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為
1
2
，且經(jīng)過點P(1，
3
2
)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設F是橢圓C的左焦，判斷以PF為直徑的圓與以橢圓長軸為直徑的圓的位置關系，并說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的短軸長為2
3
，右焦點F與拋物線y2=4x的焦點重合，O為坐標原點．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設A、B是橢圓C上的不同兩點，點D（-4，0），且滿足
DA
=λ
DB
，若λ∈[
3
8
，
1
2
]，求直線AB的斜率的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）經(jīng)過點A（1，
3
2
），且離心率e=
3
2
．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過點B（-1，0）能否作出直線l，使l與橢圓C交于M、N兩點，且以MN為直徑的圓經(jīng)過坐標原點O．若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•房山區(qū)二模）已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的長軸長是4，離心率為
1
2
．
（Ⅰ）求橢圓方程；
（Ⅱ）設過點P（0，-2）的直線l交橢圓于M，N兩點，且M，N不與橢圓的頂點重合，若以MN為直徑的圓過橢圓C的右頂點A，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的短軸長為2，離心率為
2
2
，設過右焦點的直線l與橢圓C交于不同的兩點A，B，過A，B作直線x=2的垂線AP，BQ，垂足分別為P，Q．記λ=
AP+BQ
PQ
，若直線l的斜率k≥
3
，則λ的取值范圍為
 
．

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