Question

17．（1）求與橢圓$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1$有相同的焦點，且經(jīng)過點（4，3）的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（2）求與雙曲線$\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{9}=1$有相同的漸近線，且焦距為$2\sqrt{13}$的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．

Answer 1

分析 （1）由題意可設(shè)橢圓方程$\frac{x^2}{16+λ}+\frac{y^2}{9+λ}=1（{λ＞-9}）$，代入（4，3），解方程可得λ，進(jìn)而得到所求橢圓方程；
（2）由題意可設(shè)所求雙曲線的方程為$\frac{{x}^{2}}{4λ}$-$\frac{{y}^{2}}{9λ}$=1（λ≠0），由焦距可得4|λ|+9|λ|=13，解方程即可得到所求雙曲線的方程．

解答 解：（1）由所求橢圓與橢圓$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1$有相同的焦點，
設(shè)橢圓方程$\frac{x^2}{16+λ}+\frac{y^2}{9+λ}=1（{λ＞-9}）$，
由（4，3）在橢圓上得$\frac{16}{16+λ}+\frac{9}{9+λ}=1⇒λ=12$，
則橢圓方程為$\frac{x^2}{28}+\frac{y^2}{21}=1$；
（2）由雙曲線$\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{9}=1$有相同的漸近線，
設(shè)所求雙曲線的方程為$\frac{{x}^{2}}{4λ}$-$\frac{{y}^{2}}{9λ}$=1（λ≠0），
由題意可得c²=4|λ|+9|λ|=13，
解得λ=±1．
即有雙曲線的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{9}$=1或$\frac{{y}^{2}}{9}$-$\frac{{x}^{2}}{4}$=1．

點評 本題考查相同焦點的橢圓方程的求法，以及相同漸近線方程的雙曲線方程的求法，注意運用待定系數(shù)法，考查運算能力，屬于中檔題．