Question

銷售甲，乙兩種商品所得利潤(rùn)分別為P（萬(wàn)元）和Q（萬(wàn)元），它們與投入資金t（萬(wàn)元）的關(guān)系有經(jīng)驗(yàn)公式P=

1

5

t，Q=

3

5

t

．今將3萬(wàn)元資金投入經(jīng)營(yíng)甲，乙兩種商品，其中對(duì)甲種商品投資x萬(wàn)元
（1）試建立總利潤(rùn)y（萬(wàn)元）關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式
（2）求x為多少時(shí)，總利潤(rùn)y最大？并寫出最大利潤(rùn)．

Answer 1

分析：（1）通過(guò)設(shè)出甲投資以及乙投資的數(shù)目，設(shè)立函數(shù)表達(dá)式，根據(jù)函數(shù)式直接寫出定義域．
（2）首先要對(duì)（1）的函數(shù)分析，設(shè)

3-x

=m，然后根據(jù)一元二次方程的求最值方法求解．

解答：解：（1）因?yàn)閷?duì)甲種商品投資x萬(wàn)元，
所以對(duì)乙種商品投資為3-x萬(wàn)元
由題意知：y=P+Q=

1

5

x+

3

5

3-x

（0≤x≤3）
（2）設(shè)

3-x

=m，
則m≥0且x=3-m²y=

1

5

x+

3

5

3-x

=

1

5

(3-m2)+

3

5

m
=-

1

5

(m2-3m-3)=-

1

5

(m-

3

2

)2+

21

20

所以當(dāng)m=

3

2

即：

3-x

=

3

2

，
也就是x=

3

4

萬(wàn)元時(shí)，
總利潤(rùn)最大，ymax=

21

20

萬(wàn)元
故：應(yīng)甲種商品投資

3

4

萬(wàn)元，對(duì)乙種商品投資

9

4

萬(wàn)元時(shí)，
總利潤(rùn)最大，最大值為

21

20

萬(wàn)元．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用，通過(guò)對(duì)實(shí)際問(wèn)題的分析，構(gòu)造數(shù)學(xué)模型從而解決問(wèn)題．需要對(duì)知識(shí)熟練的掌握并應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．