Question

已知函數(shù)f（x）=ax³+x²-ax，其中a∈R，x∈R．
（1）當a=1時，求函數(shù)f（x）在x=1處的切線方程；
（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，2）上不是單調(diào)函數(shù)，試求a的取值范圍；
（3）已知b＞-1，如果存在a∈（-∞，-1]，使得函數(shù)h（x）=f（x）+f′（x）（x∈[-1，b]）在x=-1處取得最小值，試求b的最大值．

Answer 1

分析：（1）求導(dǎo)數(shù)，求出切線斜率，切點坐標，即可求函數(shù)f（x）在x=1處的切線方程；
（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，2）上不是單調(diào)函數(shù)，則3ax²+2x-a=0在區(qū)間（1，2）上有解，分離參數(shù)，求值域，即可得出結(jié)論；
（3）由h（x）=ax³+（3a+1）x²+（2-a）x-a，知h（x）≥h（-1）在區(qū)間[-1，b]上恒成立，令?（x）=ax²+（2a+1）x+（1-3a），由a∈（-∞，-1]知其圖象是開口向下的拋物線，故它在閉區(qū)間的最小值必在區(qū)間端點處取得，從而可得φ（b）≥0，由此能求出b的最大值．

解答：解：（1）當a=1時，f（x）=x³+x²-x，∴f′（x）=3x²+2x-1，
x=1時，f′（1）=4，f（1）=1，
∴函數(shù)f（x）在x=1處的切線方程為y-1=4（x-1），即4x-y-3=0；
（2）∵f（x）=ax³+x²-ax，∴f′（x）=3ax²+2x-a
∵函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，2）上不是單調(diào)函數(shù)，
∴3ax²+2x-a=0在區(qū)間（1，2）上有解，
由3ax²+2x-a=0，可得a=

2x

1-3x2

，則a′=

2+6x2

(1-3x2)2

＞0，
∴a=

2x

1-3x2

在區(qū)間（1，2）上單調(diào)遞增，
∴a∈（-1，-

4

11

）；
（3）由題意，g（x）=ax³+（3a+1）x²+（2-a）x-a，
據(jù)題知，h（x）≥h（-1）在區(qū)間[-1，b]上恒成立，
即：（x+1）（ax²+（2a+1）x+（1-3a））≥0…①
當x=-1時，不等式①成立；
當-1＜x≤b時，不等式①可化為ax²+（2a+1）x+（1-3a）≥0…②
令φ（x）=ax²+（2a+1）x+（1-3a），由a∈（-∞，-1]知其圖象是開口向下的拋物線，
故它在閉區(qū)間的最小值必在區(qū)間端點處取得．
又φ（-1）=-4a＞0，故不等式②成立的充要條件是φ（b）≥0，
整理得：

b2+2b-3

b+1

≤-

1

a

在a∈（-∞，-1]上有解，
∴

b2+2b-3

b+1

≤1，
∴-1＜b≤

17 -1

2

，
∴實數(shù)b的最大值為

17 -1

2

．

點評：本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)的正負之間的關(guān)系，考查了有關(guān)不等式恒成立的問題，對于恒成立問題，一般選用參變量分離法、最值法、數(shù)形結(jié)合法求解，屬于中檔題．