Question

5．如圖，已知棱長為4的正方體ABCD-A'B'C'D'，M是正方形BB'C'C的中心，P是△A'C'D內(nèi)（包括邊界）的動(dòng)點(diǎn)，滿足PM=PD，則點(diǎn)P的軌跡長度為$\sqrt{14}$．

Answer 1

分析 滿足PM=PD的點(diǎn)P的軌跡是過MD的中點(diǎn)，且與MD垂直的平面，根據(jù)P是△A′C′D內(nèi)（包括邊界）的動(dòng)點(diǎn)，可得點(diǎn)P的軌跡是兩平面的交線ST．T在中點(diǎn)，S在4等分點(diǎn)，利用余弦定理，求出ST即可．

解答 解：滿足PM=PD的點(diǎn)P的軌跡是過MD的中點(diǎn)，且與MD垂直的平面，
∵P是△A′C′D內(nèi)（包括邊界）的動(dòng)點(diǎn)，
∴點(diǎn)P的軌跡是兩平面的交線ST．T在中點(diǎn)，
S在4等分點(diǎn)時(shí)，SD=3$\sqrt{2}$，SM=$\sqrt{{4}^{2}+2}$=3$\sqrt{2}$，滿足SD=SM．
∴SD=3$\sqrt{2}$，TD=2$\sqrt{2}$
∴ST²=$（3\sqrt{2}）^{2}+（2\sqrt{2}）^{2}$-2×$3\sqrt{2}×2\sqrt{2}$×cos60°=14．
∴ST=$\sqrt{14}$．
故答案為：$\sqrt{14}$．

點(diǎn)評 本題考查了空間位置關(guān)系、垂直平分線的性質(zhì)、線面垂直的判定與性質(zhì)定理、余弦定理，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．