已知點F（0，1），直線l：y=-1，P為平面上的動點，過點P作直線l的垂線，垂足為Q，且
QP
•
QF
=
FP
•
FQ
．
（1）求動點P的軌跡C的方程；
（2）設M為直線l1：y=-m（m＞2）上的任意一點，過點M作軌跡C的兩條切線MA，MB．切點分別為A，B，試探究直線l1上是否存在點M，使得△MAB為直角三角形？若存在，有幾個這樣的點；若不存在，請說明理由．
考點：直線與圓錐曲線的綜合問題,平面向量數(shù)量積的運算,軌跡方程
專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題
分析：（1）設動點P（x，y），則Q（x，-1），由
QP
•
QF
=
FP
•
FQ
，可得
QF
•(
QP
+
FP
)=0，利用數(shù)量積運算可得-x2+4y=0，即x2=4y．
（2）設A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0）．由x2=4y，可得y′=
1
2
x，可得切線方程為：y=
x1
2
x-
x
2
1
4
．又切線過點M，可得y0=
x1
2
x0-
x
2
1
4
；同理可得過點B的切線方程為：y0=
x2
2
x0-
x
2
2
4
．可知：x1，x2是方程y0=
x
2
x0-
x2
4
的兩個實數(shù)根．可得根與系數(shù)的關系：利用數(shù)量積運算可得
MA
•
MB
=x1x2-x0（x1+x2）+
x
2
0
+y1y2-y0（y1+y2）+
y
2
0
．可得：
MA
•
MB
=(m-1)(
x
2
0
+4m)．當m＞2時，
MA
•
MB
＞0，∠AMB＜
π
2
．利用斜率計算公式可得kMA•kAB=
x0(x0±
x
2
0
-4y0
)
4
，若kMA•kAB=-1，整理得(y0+2)
x
2
0
=-4．即(m-2)
x
2
0
=4，而m＞2時，方程(m-2)
x
2
0
=4有解，即可得出．
解答： 解：（1）設動點P（x，y），則Q（x，-1），
∵
QP
•
QF
=
FP
•
FQ
，
∴
QF
•(
QP
+
FP
)=0．
∵
QF
=（-x，2），
QP
=（0，y+1），
FP
=（x，y-1），
∴（-x，2）•（x，2y）=0，
∴-x2+4y=0，即x2=4y．
（2）設A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0）．
由x2=4y，可得y′=
1
2
x，
∴切點A的切線斜率為
1
2
x1，切線方程為：y-y1=
x1
2
(x-x1)，即y=
x1
2
x-
x
2
1
4
．
又切線過點M，∴y0=
x1
2
x0-
x
2
1
4
①，
同理可得過點B的切線方程為y=
x2
2
x-
x
2
2
4
，又過點M，∴y0=
x2
2
x0-
x
2
2
4
．②
由①②可知：x1，x2是方程y0=
x
2
x0-
x2
4
的兩個實數(shù)根．
∴x1+x2=2x0，x1x2=4y0．
MA
•
MB
=（x1-x0）（x2-x0）+（y1-y0）（y2-y0）=x1x2-x0（x1+x2）+
x
2
0
+y1y2-y0（y1+y2）+
y
2
0
（*）．
把x1+x2=2x0，x1x2=4y0.y1=
x
2
1
4
，y2=
x
2
2
4
代入（*）可得：
MA
•
MB
=4m2+m
x
2
0
-4m-
x
2
0
=(m-1)(
x
2
0
+4m)．
當m＞2時，
MA
•
MB
＞0，∠AMB＜
π
2
．
∵kAB=
y1-y2
x1-x2
=
x
2
1
4
-
x
2
2
4
x1-x2
=
x1+x2
4
=
x0
2
.kMA=
x1
2
=
x0±
x
2
0
-4y0
2
，
∴kMA•kAB=
x0
2
×
x0±
x
2
0
-4y0
2
=
x0(x0±
x
2
0
-4y0
)
4
，
若kMA•kAB=-1，整理得(y0+2)
x
2
0
=-4．
∵y0=-m，∴(m-2)
x
2
0
=4，而m＞2時，方程(m-2)
x
2
0
=4有解，
∴m＞2時，MA⊥AB或MB⊥AB，△MAB為直角三角形．
即直線l1上存在兩點M，使得△MAB為直角三角形．
點評：本題考查了拋物線的標準方程及其性質(zhì)、直線與拋物線相切問題、一元二次方程的根與系數(shù)的關系、向量垂直與數(shù)量積的關系，考查了分析問題與解決問題的能力，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．
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相關習題

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（1）已知tanα=2，計算
4sinα-2cosα
5cosα+3sinα
的值；
（2）化簡：
sin(π-α)cos(π+α)cos(
3π
2
+α)
cos(3π-α)sin(3π+α)sin(
5π
2
-α)

（3）已知一扇形的圓心角是72°，半徑等于20cm，求扇形的面積．

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已知函數(shù)f（x）是R上的奇函數(shù)，g（x）是R上的偶函數(shù)，且g（x）=f（
π
2
+x），則f（2014π+x）g（
π
2
+x）=
 
．

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求下列各函數(shù)的最值：
（1）f（x）=-x3+3x，x∈[-
3
，3]；
（2）f（x）=x2-
54
x
（x＜0）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

若橢圓的中心及兩個焦點將兩條準線之間的距離四等分，則橢圓的離心率為（　�。�
A、
1
2
B、
2
2
C、
3
2
D、
3
3

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知a＞0，b＞0，c＞0，d＞0，求證（ab+cd）（ac+bd）≥4abcd．

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（1）求動點Q的軌跡C的方程；
（2）設N為軌跡C上的動點，是否在y軸上存在定點E，使得以NE為直徑的圓被直線y=3截得的弦長恒為定值？若存在，求出定點E和弦長；若不存在，請說明理由．

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已知等差數(shù)列{an}中，a3=3，a7=7，其通項公式為an，前n項和為Sn；
（1）求an與Sn
（2）若bn=2an，試求數(shù)列{bn}的前n項和Tn；
（3）若kn=
1
Sn
，試求數(shù)列{kn}的前n項和Qn．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知圓的方程為（x-1）2+（y-1）2=9，過圓內(nèi)一點P（2，3）作弦，則最短弦長為
 
．

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