【題目】如圖,四棱錐P﹣ABCD中,底面ABCD為菱形,∠BAD=60°,Q是AD的中點(diǎn).
(1)若PA=PD,求證:平面PQB⊥平面PAD;
(2)若平面APD⊥平面ABCD,且PA=PD=AD=2,在線段PC上是否存在點(diǎn)M,使二面角M﹣BQ﹣C的大小為60°.若存在,試確定點(diǎn)M的位置,若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】
(1)證明:∵PA=PD,Q為AD的中點(diǎn),∴PQ⊥AD,
又∵底面ABCD為菱形,∠BAD=60°,∴BQ⊥AD,
又PQ∩BQ=Q,∴AD⊥平面PQB,
又∵AD平面PAD,
∴平面PQB⊥平面PAD
(2)解:∵平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,PQ⊥AD,
∴PQ⊥平面ABCD,
以Q為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以QA,QB,QP為x,y,z軸,
建立空間直角坐標(biāo)系,如圖
則Q(0,0,0),P(0,0, ),B(0, ,0),C(﹣2, ,0)
設(shè) ,0<λ<1,則M(﹣2λ, , ),
平面CBQ的一個(gè)法向量 =(0,0,1),
設(shè)平面MBQ的法向量為 =(x,y,z),
由 ,得 =( ,0, ),
∵二面角M﹣BQ﹣C的大小為60°,
∴cos60°=|cos< >|=| |= ,
解得 ,∴ = ,
∴存在點(diǎn)M為線段PC靠近P的三等分點(diǎn)滿足題意.
【解析】(1)由已知得PQ⊥AD,BQ⊥AD,由此能證明平面PQB⊥平面PAD.(2)以Q為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以QA,QB,QP為x,y,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法能求出存在點(diǎn)M為線段PC靠近P的三等分點(diǎn)滿足題意.
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了平面與平面垂直的判定的相關(guān)知識(shí)點(diǎn),需要掌握一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的垂線,則這兩個(gè)平面垂直才能正確解答此題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,已知AB⊥AC,AB=2,AC=4,AA1=3.D是線段BC的中點(diǎn).
(1)求直線DB1與平面A1C1D所成角的正弦值;
(2)求二面角B1﹣A1D﹣C1的大小的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某班主任對(duì)全班50名學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性和對(duì)待班級(jí)工作的態(tài)度進(jìn)行了調(diào)查,統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表所示:
分類 | 積極參加 班級(jí)工作 | 不太主動(dòng)參 加班級(jí)工作 | 總計(jì) |
學(xué)習(xí)積極性高 | 18 | 7 | 25 |
學(xué)習(xí)積極性一般 | 6 | 19 | 25 |
總計(jì) | 24 | 26 | 50 |
(1)如果隨機(jī)抽查這個(gè)班的一名學(xué)生,那么抽到積極參加班級(jí)工作的學(xué)生的概率是多少?抽到不太主動(dòng)參加班級(jí)工作且學(xué)習(xí)積極性一般的學(xué)生的概率是多少?
(2)試運(yùn)用獨(dú)立性檢驗(yàn)的思想方法分析:學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性與對(duì)待班級(jí)工作的態(tài)度是否有關(guān),并說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù),且時(shí),總有成立.
求a的值;
判斷并證明函數(shù)的單調(diào)性;
求在上的值域.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1,粗實(shí)線畫出的是某多面體的三視圖,則該多面體外接球的表面積為 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某電視臺(tái)舉辦青年歌手大獎(jiǎng)賽,有十名評(píng)委打分,已知甲、乙兩名選手演唱后的得分如莖葉圖如圖所示.
(1)從統(tǒng)計(jì)學(xué)的角度,你認(rèn)為甲與乙比較,演唱水平怎樣?
(2)現(xiàn)場(chǎng)有三名點(diǎn)評(píng)嘉賓A,B,C,每位選手可以從中選兩位接受其指導(dǎo),若選手選每位點(diǎn)評(píng)嘉賓的可能性相等,求甲、乙兩名選手選擇的點(diǎn)評(píng)嘉賓恰有一人重復(fù)的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某農(nóng)科所對(duì)冬季晝夜溫差大小與某反季大豆新品種發(fā)芽多少之間的關(guān)系進(jìn)行了分析研究,分別記錄了2016年12月1日至12月5日每天的晝夜溫差以及實(shí)驗(yàn)室100顆種子中的發(fā)芽數(shù),得到的數(shù)據(jù)如下表所示:
日期 | 12月1日 | 12月2日 | 12月3日 | 12月4日 | 12月5日 |
溫差x/℃ | 10 | 11 | 13 | 12 | 8 |
發(fā)芽數(shù)y/顆 | 23 | 25 | 30 | 26 | 16 |
該農(nóng)科所確定的研究方案是:先從這五組數(shù)據(jù)中選取兩組,用剩下的三組數(shù)據(jù)求線性回歸方程,再對(duì)被選取的兩組數(shù)據(jù)進(jìn)行檢驗(yàn).
(1)求選取的兩組數(shù)據(jù)恰好是不相鄰的兩天數(shù)據(jù)的概率.
(2)若選取的是12月1日和12月5日的兩組數(shù)據(jù),請(qǐng)根據(jù)12月2日至12月4日的數(shù)據(jù),求出y關(guān)于x的線性回歸方程.
(3)由線性回歸方程得到的估計(jì)數(shù)據(jù)與所選出的檢驗(yàn)數(shù)據(jù)的誤差均不超過(guò)2,則認(rèn)為得到的線性回歸方程是可靠的,據(jù)此說(shuō)明(2)中所得線性回歸方程是否可靠?并估計(jì)當(dāng)溫差為9 ℃時(shí),100顆種子中的發(fā)芽數(shù).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】下表提供了某廠節(jié)能降耗技術(shù)改造后生產(chǎn)甲產(chǎn)品過(guò)程中記錄的產(chǎn)量(噸)與相應(yīng)的生產(chǎn)能耗(噸)標(biāo)準(zhǔn)煤的幾組對(duì)照數(shù)據(jù):
3 | 4 | 5 | 6 | |
2.5 | 3 | 4 | 4.5 |
(1)請(qǐng)根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù),用最小二乘法求出關(guān)于的線性回歸方程;
(2)已知該廠技術(shù)改造前100噸甲產(chǎn)品能耗為90噸標(biāo)準(zhǔn)煤,試根據(jù)(1)求出的線性回歸方程,預(yù)測(cè)生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗比技術(shù)改造前降低多少噸標(biāo)準(zhǔn)煤?
(參考:)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+)(A>0,ω>0,||< ),其導(dǎo)函數(shù)f'(x)的部分圖象如圖所示,則函數(shù)f(x)的解析式為( )
A.
B.
C.
D.
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