Question

已知二次函數(shù)f（x）=x²-8x+q²-q+1．
（1）若在區(qū)間[-1，1]上至少存在一點m，使f（m）＜0求實數(shù)q的范圍．
（2）問是否存在常數(shù)t，若x∈[3，t]時，f（x）的值域為區(qū)間D，且D的長度為2t．（注：區(qū)間[a，b]的長度為b-a）．

Answer 1

解：（1）∵f（x）=x²-8x+q²-q+1=（x-4）²+q²-q-15．
f（x）對稱軸為x=4，開口向上，
f（x）在[-1.1]上單調遞減，要滿足區(qū)間上至少存在一點m，
使f（m）＜0，
即要求f（1）＜0，f（1）=q²-q-6＜0，
（q-3）（q+2）＜0，
解得：{q|-2＜q＜3}．
（2）．f（3）=q²-q-14，
f（t）=t²-8t+q²-q+1，
f（4）=q²-q-15．
若f（3）＜f（t），
值域為[q²-q-15，t²-8t+q²-q+1]，
區(qū)間長度為t²-8t+16=2t，
解得t=2（舍去）或8．
若f（3）＞f（t），值域為[q²-q-15，q²-q-14]，
區(qū)間長度為1=2t，解得t=（舍去）．
分析：（1）f（x）=（x-4）²+q²-q-15．f（x）對稱軸為x=4，開口向上，f（x）在[-1.1]上單調遞減，要滿足區(qū)間上至少存在一點m，使f（m）＜0，由此能求出實數(shù)q的范圍．
（2）．f（3）=q²-q-14，f（t）=t²-8t+q²-q+1，f（4）=q²-q-15．由此能求出D的長度．
點評：本題考查二次函數(shù)的性質和應用，解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉化．