三角形ABC中，b=5，c=3且滿足sin22A-sin2AsinA+cos2A=1，求cos（B-C）
考點：兩角和與差的余弦函數(shù)
專題：三角函數(shù)的求值
分析：利用二倍角的正弦與同角三角函數(shù)間的關(guān)系式可求得cosA=-
1
2
，sinA=
1-cos2A
=
3
2
，再利用余弦定理，可求得a=7，利用正弦定理可求得sinB、sinC，cosB、cosC，最后利用兩角差的余弦即可求得答案．
解答： 解：依題意得：（2sinAcosA）2-2（sinAcosA）sinA+（1-2sin2A）=1，
4sin2Acos2A-2sin2AcosA-2sin2A=0，等號兩端同除以2sin2A，得2cos2A-cosA-1=0，
整理得：（2cosA+1）（cosA-1）=0，
所以，cosA=-
1
2
或cosA=1（舍去），
所以，cosA=-
1
2
，sinA=
1-cos2A
=
3
2
．
由余弦定理得：a2=b2+c2-2bccosA=25+9-2×5×3×（-
1
2
）=49，
所以a=7．
因為
a
sinA
=
b
sinB
=
c
sinC
，所以
7
3
2
=
5
sinB
=
3
sinC
，解得：sinB=
5
3
14
，sinC=
3
3
14
，cosB=
1-sin2B
=
11
14
，cosC=
1-sin2C
=
13
14
，
所以，cos（B-C）=cosBcosC+sinBsinC=
55
3
+39
3
142
=
94
3
196
=
47
3
98
．
點評：本題考查兩角和與差的余弦函數(shù)，考查二倍角的正弦與同角三角函數(shù)間的關(guān)系式的應(yīng)用，考查正弦定理與余弦定理的應(yīng)用，考查化歸思想與綜合運(yùn)算能力，屬于難題．
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x=2cosθ
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5
2
π

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an
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an-1
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3
=0上，則
lim
n→∞
an
(n+1)2
=
 
．

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1
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1
S1
+
1
S2
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1
Sn
．

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