Question

設(shè)
(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；
(2)求f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

Answer 1

(1)見解析；(2)見解析.

試題分析：(1)先由對數(shù)函數(shù)的定義求得函數(shù)的定義域，然后對函數(shù)求導(dǎo)，對的取值進(jìn)行分類討論，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系求得每種情況下的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2) 對的取值進(jìn)行分類討論，當(dāng)時(shí)分和兩種情況，由， ，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理可知在上有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求得函數(shù)的極小值，對極小值與0的關(guān)系分三種情況進(jìn)行分類討論，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理求得每種情況下的函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).
試題解析：(1) 的定義域是，          1分
∵ ，          2分
當(dāng)時(shí)，，是的增區(qū)間，    3分
當(dāng)時(shí)，令，，（負(fù)值舍去）
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，      5分
所以是的減區(qū)間，是的增區(qū)間.       6分
綜合：當(dāng)時(shí)，的增區(qū)間是；
當(dāng)時(shí)，的減區(qū)間是，的增區(qū)間是.         7分
(2)由(1)知道當(dāng)時(shí)，在上是增函數(shù)，當(dāng)時(shí)有零點(diǎn)，     8分
當(dāng)時(shí)，， ，       .9分
(或當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，)，
所以在上有一個(gè)零點(diǎn)，                     10分
當(dāng)時(shí)，由(1)知，在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，所以當(dāng)是，有極小值，其最小值為.             11分
當(dāng)，即時(shí)，無零點(diǎn)，
當(dāng)，即時(shí)，有一個(gè)零點(diǎn)，
當(dāng)，即時(shí)，有2個(gè)零點(diǎn).           13分
綜合：當(dāng)時(shí)，無零點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，有一個(gè)零點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，有個(gè)零.        14分