Question

(本小題13分) 已知數(shù)列{a}滿足0<a, 且 (nN*).
(1) 求證：a_n＋1≠a_n；
(2) 令a₁＝，求出a₂、a₃、a₄、a₅的值，歸納出a_n , 并用數(shù)學歸納法證明.

Answer 1

見解析。

試題分析：（1）采用反證法，若存在正整數(shù)n使a_n＋1＝a_n，即推出矛盾。
（2）運用歸納猜想的思想得到其通項公式即可。再加以證明其正確性。
解：(1) 證明：(采用反證法)．若存在正整數(shù)n使a_n＋1＝a_n，即, 解得a_n＝0, 1.
若a_n＝0, 則 a_n＝a_n－1＝…＝a₂＝a₁＝0, 與題設a₁＞0;
若a_n＝1, 則a_n＝a_n－1＝…＝a₂＝a₁＝1, 與題設a₁≠1相矛盾. 
綜上所述, a_n＋1≠a_n成立．
(2) a₁＝、a₂＝、a₃＝、a₄＝、a₅＝，猜想: a_n＝，n∈N^*.
下面用數(shù)學歸納法證明:
①n＝1時, 不難驗證公式成立;
②假設n＝k(k∈N*)時公式成立, 即a_k＝
則n＝k＋1時， a _k＋1＝＝
故此時公式也成立
綜合① ②據(jù)數(shù)學歸納法知公式成立.
點評：解決該試題的關鍵是利用數(shù)列的前幾項得到其通項公式，然后運用數(shù)學歸納法分兩步證明。