已知A、B是雙曲線C：
x2
4
-
y2
3
=1的左、右頂點(diǎn)，P是坐標(biāo)平面上異于A、B的一點(diǎn)，設(shè)直線PA、PB的斜率分別為k1，k2．
求證：k1k2=
3
4
是P點(diǎn)在雙曲線C上的充分必要條件．
分析：從充分性、必要性兩方面進(jìn)行證明即可．
解答：證明：設(shè)P（x0，y0），易知A （-2，0），B （2，0）
（1）充分性：由k1k2=
3
4
知：
y0
x0+2
×
y0
x0-2
=
3
4
，
所以3x02-4y02=12，即
x02
4
-
y02
3
=1，
故點(diǎn)P在雙曲線
x2
4
-
y2
3
=1上；
（2）必要性：因?yàn)辄c(diǎn)P在雙曲線C上，
所以
x02
4
-
y02
3
=1，故y02=
3
4
(x02-4)
由已知x0≠±2，故k1k2=
y0
x0+2
×
y0
x0-2
=
y02
x02-4
=
3
4

綜上（1）（2）知k1k2=
3
4
是P點(diǎn)在雙曲線C上的充分必要條件．
點(diǎn)評(píng)：本題考查充要性的證明，需從充分性、必要性兩方面進(jìn)行證明．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•濟(jì)南二模）已知F1，F(xiàn)2是雙曲線C：
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點(diǎn)，過F1的直線l與C的左、右兩支分別交于A，B兩點(diǎn)．若|AB|：|BF2|：|AF2|=3：4：5，則雙曲線的離心率為
13
13
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：單選題

已知A，B是雙曲線數(shù)學(xué)公式的兩個(gè)頂點(diǎn)，點(diǎn)P是雙曲線上異于A，B的一點(diǎn)，連接PO（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）交橢圓數(shù)學(xué)公式于點(diǎn)Q，如果設(shè)直線PA，PB，QA的斜率分別為k1，k2，k3，且數(shù)學(xué)公式，假設(shè)k3＞0，則k3的值為


  1. A.
    1
  2. B.
    數(shù)學(xué)公式
  3. C.
    2
  4. D.
    4

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2012-2013學(xué)年浙江省五校聯(lián)盟高三（下）第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)卷（文科）（解析版） 題型：選擇題

已知A，B是雙曲線的兩個(gè)頂點(diǎn)，點(diǎn)P是雙曲線上異于A，B的一點(diǎn)，連接PO（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）交橢圓于點(diǎn)Q，如果設(shè)直線PA，PB，QA的斜率分別為k1，k2，k3，且，假設(shè)k3＞0，則k3的值為（ ）
A．1
B．
C．2
D．4

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：模擬題 題型：單選題

已知A、B是雙曲線C的兩個(gè)頂點(diǎn)，直線l垂直于實(shí)軸，與雙曲線C交于P、Q兩點(diǎn)，若，則雙曲線C的離心率e為
[     ]
A.
B.
C.1
D.2

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