Question

若不等式（log 

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x）²-6log₄x+2≤0的解集為M，當(dāng)x∈M時，求f（x）=a•2^x+3+4^x的最小值．

Answer 1

考點：指、對數(shù)不等式的解法

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：求解對數(shù)不等式得到集合M，進一步求得2^x的范圍，然后令t=2^x換元，由對稱軸的范圍分類求得函數(shù)f（x）的最小值．

解答： 解：由（log 

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x）²-6log₄x+2≤0，得
(log2x)2-3log2x+2≤0，即1≤log₂x≤2，
∴2≤x≤4．
則M=[2，4]，
當(dāng)x∈M時，2^x∈[4，16]，
f（x）=a•2^x+3+4^x=（2^x）²+8a•2^x．
令t=2^x∈[4，16]，
則y=f（x）=t²+8at（4≤t≤16），
對稱軸方程為t=-4a．
當(dāng)-4a≤4，即a≥-1時，y_min=y_t=4=16+32a；
當(dāng)-4a≥16，即a≤-4時，y_min=y_t=16=256+128a；
當(dāng)4＜-4a＜16，即-4＜a＜-1時，ymin=yt=-4a=-16a2．
綜上，f(x)min=

16+32a，a≥-1 256+128a，a≤-4 -16a2，-4＜a＜-1

．

點評：本題考查了對數(shù)不等式的解法，考查了利用換元法求二次函數(shù)的最值，考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，是中檔題．